Resolva o sistema de equações abaixo pelo método de Relaxação. Realize os cálculos com 4 casas decimais e arredondamento. Considere o erro máximo como erro
, ou até 7 iterações.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de três equações lineares com três incógnitas (x, y e z). A tarefa é resolver esse sistema usando o método de Relaxação, que é uma técnica iterativa para encontrar soluções aproximadas. Para isso, vamos reorganizar as equações de forma que cada variável seja expressa em termos das outras e, então, realizar as iterações necessárias até que o erro seja menor ou igual a 0,1 ou até completar 7 iterações.
Passo 2
Primeiro, precisamos reescrever cada equação isolando uma variável. Isso facilita a aplicação do método de Relaxação. Vamos fazer isso para cada equação:
- Primeira equação:
- Segunda equação:
- Terceira equação:
Passo 3
Agora que temos cada variável isolada, vamos realizar as iterações. Começaremos com valores iniciais para x, y e z. Geralmente, começa-se com 0 para todas as variáveis:
Passo 4
Iteração 1:
Calculamos os novos valores usando as fórmulas que isolam cada variável:
Calculamos o erro absoluto em relação aos valores anteriores (que eram 0):
Como todos os erros são maiores que 0,1, precisamos continuar com a próxima iteração.
Passo 5
Iteração 2:
Usamos os valores da Iteração 1 para recalcular x, y e z:
Calculamos os erros:
Ainda há erros maiores que 0,1, então seguimos para a próxima iteração.
Passo 6
Iteração 3:
Usamos os valores da Iteração 2:
Calculamos os erros:
O erro de y ainda é maior que 0,1, então continuamos.
Passo 7
Iteração 4:
Usamos os valores da Iteração 3:
Calculamos os erros:
Ainda temos erros maiores que 0,1 em x e z, então vamos para a próxima iteração.
Passo 8
Iteração 5:
Usamos os valores da Iteração 4:
Calculamos os erros:
Agora, todos os erros são menores ou iguais a 0,1. Portanto, podemos parar as iterações.
Resposta
A solução aproximada do sistema pelo método de Relaxação é: