Resolva o sistema de equações abaixo pelo método de Relaxação. Realize os cálculos com 4 casas decimais e arredondamento. Considere o erro máximo como erro <= 0,1, ou até 7 iterações.
10 x+2 y+z=7
x-5 y+z=-8
2 x+3 y+10 z=6

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de três equações lineares com três incógnitas (x, y e z). A tarefa é resolver esse sistema usando o método de Relaxação, que é uma técnica iterativa para encontrar soluções aproximadas. Para isso, vamos reorganizar as equações de forma que cada variável seja expressa em termos das outras e, então, realizar as iterações necessárias até que o erro seja menor ou igual a 0,1 ou até completar 7 iterações.

Passo 2

Primeiro, precisamos reescrever cada equação isolando uma variável. Isso facilita a aplicação do método de Relaxação. Vamos fazer isso para cada equação:
  1. Primeira equação: 10x + 2y + z = 7 implies x = 7 - 2y - z10
  2. Segunda equação: x - 5y + z = -8 implies y = x + z + 85
  3. Terceira equação: 2x + 3y + 10z = 6 implies z = 6 - 2x - 3y10

Passo 3

Agora que temos cada variável isolada, vamos realizar as iterações. Começaremos com valores iniciais para x, y e z. Geralmente, começa-se com 0 para todas as variáveis:
x^(0) = 0, y^(0) = 0, z^(0) = 0

Passo 4

Iteração 1:
Calculamos os novos valores usando as fórmulas que isolam cada variável:
x^(1) = 7 - 2(0) - 010 = 710 = 0,7000
y^(1) = 0 + 0 + 85 = 85 = 1,6000
z^(1) = 6 - 2(0) - 3(0)10 = 610 = 0,6000
Calculamos o erro absoluto em relação aos valores anteriores (que eram 0):
Errox = |0,7000 - 0| = 0,7000
Erroy = |1,6000 - 0| = 1,6000
Erroz = |0,6000 - 0| = 0,6000
Como todos os erros são maiores que 0,1, precisamos continuar com a próxima iteração.

Passo 5

Iteração 2:
Usamos os valores da Iteração 1 para recalcular x, y e z:
x^(2) = 7 - 2(1,6000) - 0,600010 = 7 - 3,2000 - 0,600010 = 3,200010 = 0,3200
y^(2) = 0,7000 + 0,6000 + 85 = 9,30005 = 1,8600
z^(2) = 6 - 2(0,7000) - 3(1,6000)10 = 6 - 1,4000 - 4,800010 = -0,200010 = -0,0200
Calculamos os erros:
Errox = |0,3200 - 0,7000| = 0,3800
Erroy = |1,8600 - 1,6000| = 0,2600
Erroz = |-0,0200 - 0,6000| = 0,6200
Ainda há erros maiores que 0,1, então seguimos para a próxima iteração.

Passo 6

Iteração 3:
Usamos os valores da Iteração 2:
x^(3) = 7 - 2(1,8600) - (-0,0200)10 = 7 - 3,7200 + 0,020010 = 3,300010 = 0,3300
y^(3) = 0,3200 + (-0,0200) + 85 = 8,30005 = 1,6600
z^(3) = 6 - 2(0,3200) - 3(1,8600)10 = 6 - 0,6400 - 5,580010 = -0,220010 = -0,0220
Calculamos os erros:
Errox = |0,3300 - 0,3200| = 0,0100
Erroy = |1,6600 - 1,8600| = 0,2000
Erroz = |-0,0220 - (-0,0200)| = 0,0020
O erro de y ainda é maior que 0,1, então continuamos.

Passo 7

Iteração 4:
Usamos os valores da Iteração 3:
x^(4) = 7 - 2(1,6600) - (-0,0220)10 = 7 - 3,3200 + 0,022010 = 3,702010 = 0,3702
y^(4) = 0,3300 + (-0,0220) + 85 = 8,30805 = 1,6616
z^(4) = 6 - 2(0,3300) - 3(1,6600)10 = 6 - 0,6600 - 4,980010 = 0,360010 = 0,0360
Calculamos os erros:
Errox = |0,3702 - 0,3300| = 0,0402
Erroy = |1,6616 - 1,6600| = 0,0016
Erroz = |0,0360 - (-0,0220)| = 0,0580
Ainda temos erros maiores que 0,1 em x e z, então vamos para a próxima iteração.

Passo 8

Iteração 5:
Usamos os valores da Iteração 4:
x^(5) = 7 - 2(1,6616) - 0,036010 = 7 - 3,3232 - 0,036010 = 3,640810 = 0,3641
y^(5) = 0,3702 + 0,0360 + 85 = 8,40625 = 1,6812
z^(5) = 6 - 2(0,3702) - 3(1,6616)10 = 6 - 0,7404 - 4,984810 = 0,274810 = 0,0275
Calculamos os erros:
Errox = |0,3641 - 0,3702| = 0,0061
Erroy = |1,6812 - 1,6616| = 0,0196
Erroz = |0,0275 - 0,0360| = 0,0085
Agora, todos os erros são menores ou iguais a 0,1. Portanto, podemos parar as iterações.

Resposta

A solução aproximada do sistema pelo método de Relaxação é:
x approx 0,3641, y approx 1,6812, z approx 0,0275

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