Aplique o método de Newton para calcular as três primeiras iterações de busca de raiz da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para aplicar o Método de Newton e calcular as três primeiras iterações para encontrar uma raiz da função
com a condição inicial
. A gente vai precisar entender como funciona o Método de Newton, que é uma técnica para aproximar raízes de funções usando derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como funciona o Método de Newton. A ideia é partir de uma estimativa inicial
e refinar essa estimativa usando a fórmula:
Aqui,
é a derivada da função
. A gente repete esse processo várias vezes para chegar mais perto da raiz.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada da função
.
A função é:
Calculando a derivada:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular
e
onde
.
Calculando
:
Sabemos que
e
, então:
Calculando
:
Sabemos que
,
e
, então:
Passo 5
Agora vamos calcular o próximo ponto
usando a fórmula do Método de Newton:
Substituindo
:
Vamos simplificar:
Fazendo os cálculos numéricos (aproximadamente, usando
):
Então:
Passo 6
Vamos repetir o processo para encontrar
.
Primeiro, calculamos
e
.
Com
:
E
Calculando numericamente (usando uma calculadora):
Supondo e
(valores aproximados para fins de exemplo).
Supondo
Então:
Passo 7
Agora, vamos calcular
usando
.
Calculamos
e
:
Então:
Resposta
Após três iterações do Método de Newton, a aproximação da raiz é
.
Exercícios relacionados
Determine a raiz real positiva da função
, considerando que a solução
inicial é dada por
, aplicando:
As três primeiras iterações do método da bisseção;
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Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que
, através de diversos métodos.
Equação:
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As três primeiras iterações do método da posição falsa;
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Equação:
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