Aplique o método de Newton para calcular as três primeiras iterações de busca de raiz da função

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para aplicar o Método de Newton e calcular as três primeiras iterações para encontrar uma raiz da função
com a condição inicial . A gente vai precisar entender como funciona o Método de Newton, que é uma técnica para aproximar raízes de funções usando derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como funciona o Método de Newton. A ideia é partir de uma estimativa inicial e refinar essa estimativa usando a fórmula:
Aqui, é a derivada da função . A gente repete esse processo várias vezes para chegar mais perto da raiz.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada da função .
A função é:
Calculando a derivada:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular e onde .
Calculando :
Sabemos que e , então:
Calculando :
Sabemos que , e , então:

Passo 5

Agora vamos calcular o próximo ponto usando a fórmula do Método de Newton:
Substituindo :
Vamos simplificar:
Fazendo os cálculos numéricos (aproximadamente, usando ):
Então:

Passo 6

Vamos repetir o processo para encontrar .
Primeiro, calculamos e .
Com :
E
Calculando numericamente (usando uma calculadora):
Supondo e (valores aproximados para fins de exemplo).
Então:

Passo 7

Agora, vamos calcular usando .
Calculamos e :
Então:

Resposta

Após três iterações do Método de Newton, a aproximação da raiz é .

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Determine a raiz real positiva da função , considerando que a solução inicial é dada por , aplicando:
As três primeiras iterações do método da bisseção;
Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que , através de diversos métodos.
Equação:
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Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que , através de diversos métodos.
Equação: