Determine a raiz real positiva da função f(x)=ln (x^4)=0.7, considerando que a solução xs inicial é dada por xs in R:[0.5,2], aplicando:
As três primeiras iterações do método da posição falsa;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a raiz positiva da função . Isso significa que estamos procurando um valor de que, quando colocado na função, faça com que o resultado seja zero. Para resolver isso, vamos usar o método da posição falsa, que é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções. Vamos começar com o intervalo inicial .

Passo 2

No método da posição falsa, a gente começa identificando os valores da função nos extremos do intervalo inicial. Vamos calcular f(0.5) = ln((0.5)^4) - 0.7 = ln(0.0625) - 0.7 approx -2.77 - 0.7 = -3.47 e f(2) = ln(2^4) - 0.7 = ln(16) - 0.7 approx 2.77 - 0.7 = 2.07 .
Calculando :
Calculando :
Como é negativo e é positivo, sabemos que a raiz está entre 0.5 e 2.

Passo 3

Agora, vamos calcular o ponto onde a linha que une x1 = 2 - f(2) times 2 - 0.5f(2) - f(0.5) = 2 - 2.07 times 1.52.07 - (-3.47) approx 2 - 2.07 times 1.55.54 approx 2 - 0.56 = 1.44 e intercepta o eixo . Usamos a fórmula da posição falsa:
Então, o novo ponto é .

Passo 4

Vamos verificar o sinal de f(1.44) = ln(1.44^4) - 0.7 approx ln(4.30) - 0.7 approx 1.46 - 0.7 = 0.76 :
Como é positivo e era negativo, a raiz está entre 0.5 e 1.44.

Passo 5

Aplicamos novamente a fórmula da posição falsa com o novo intervalo x2 = 1.44 - f(1.44) times 1.44 - 0.5f(1.44) - f(0.5) = 1.44 - 0.76 times 0.940.76 - (-3.47) approx 1.44 - 0.76 times 0.944.23 approx 1.44 - 0.17 = 1.27 :
Então, o próximo ponto é .

Passo 6

Vamos verificar f(1.27) = ln(1.27^4) - 0.7 approx ln(2.60) - 0.7 approx 0.955 - 0.7 = 0.255 :
Como ainda é positivo, a raiz está entre 0.5 e 1.27.

Passo 7

Fazemos uma última iteração com o intervalo x3 = 1.27 - f(1.27) times 1.27 - 0.5f(1.27) - f(0.5) = 1.27 - 0.255 times 0.770.255 - (-3.47) approx 1.27 - 0.255 times 0.773.725 approx 1.27 - 0.052 = 1.22 :
Então, o próximo ponto é .

Resposta

Após três iterações do método da posição falsa, a raiz real positiva aproximada é .

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