Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que
, através de diversos métodos.
Equação:
Equação:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação juntos! O exercício pede para encontrar as raízes da equação
com um erro menor que
. Para isso, vamos trabalhar com polinômios de quarto grau e utilizar métodos numéricos como o Método de Newton-Raphson para encontrar as raízes com a precisão que a gente precisa.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar toda a equação do lado esquerdo para termos zero no lado direito. Assim, ficamos com:
Essa é a forma padrão de um polinômio de quarto grau.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os valores de
que satisfazem essa equação. Como é um polinômio de quarto grau com coeficientes decimais, métodos analíticos são bem complicados. Por isso, vamos optar por métodos numéricos. Um dos mais eficientes é o Método de Newton-Raphson, que nos ajuda a aproximar raízes de equações de forma iterativa.
Passo 4
Para aplicar o Método de Newton-Raphson, precisamos de uma estimativa inicial para cada raiz. Podemos usar gráficos ou tentar adivinhar valores que aproximem a equação a zero. Vamos calcular a derivada da função para usar no método:
Escolhemos um valor inicial
e aplicamos a fórmula do Método de Newton-Raphson:
Repetimos esse processo até que a diferença entre
e
seja menor que
.
Passo 5
Vamos aplicar o método para encontrar cada raiz:
-
Primeira Raiz:
- Estimativa inicial:
- Aplicamos as iterações do Método de Newton-Raphson até convergir para
com a precisão desejada.
- Estimativa inicial:
-
Segunda Raiz:
- Estimativa inicial:
- Iteramos até encontrar
- Estimativa inicial:
-
Terceira Raiz:
- Estimativa inicial:
- Converge para
- Estimativa inicial:
-
Quarta Raiz:
- Estimativa inicial:
- Não encontramos raiz real nessa região, indicando que pode haver raízes complexas.
- Estimativa inicial:
Após as iterações necessárias, identificamos as raízes reais com a precisão requerida.
Resposta
As raízes da equação
com erro menor que
são aproximadamente:
Além disso, há raízes complexas que não são exibidas aqui.