Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que , através de diversos métodos. Equação:

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que temos aqui. Precisamos encontrar as raízes da equação , ou seja, os valores de que tornam essa equação verdadeira. Vamos trabalhar com métodos numéricos para chegar a uma resposta com erro menor que . Para isso, vamos usar dois métodos populares: o Método de Newton-Raphson e o Método da Bissecção.

Passo 2

Primeiro, vamos usar o **Método de Newton-Raphson**. Esse método é ótimo para encontrar raízes de funções de forma iterativa, ou seja, melhorando a aproximação passo a passo. Primeiro, precisamos reescrever nossa equação de forma que fique igual a zero:

Passo 3

Para aplicar o Método de Newton-Raphson, precisamos da derivada da função . Vamos calcular: A derivada é importante porque nos ajuda a determinar a inclinação da função, que é usada para atualizar nossa estimativa da raiz.

Passo 4

Agora, escolhemos um palpite inicial para . Vamos começar com . Aplicamos a fórmula do Método de Newton-Raphson: Vamos calcular iterativamente até a diferença entre e ser menor que . **Iteração 1:** **Iteração 2:** Continuamos esse processo até alcançar a precisão desejada.

Passo 5

Após algumas iterações, o Método de Newton-Raphson nos dá uma raiz aproximada de . Vamos agora conferir com o **Método da Bissecção** para confirmar.

Passo 6

O **Método da Bissecção** funciona encontrando um intervalo onde a função muda de sinal, garantindo que existe uma raiz dentro desse intervalo. Sabemos que é sempre positivo, então vamos testar valores de para ver onde a função muda de sinal. Testando : Testando : Como é negativo e é positivo, sabemos que a raiz está entre 0 e 1. Aplicamos a bissecção dividindo o intervalo pela metade e verificando o sinal da função: Após algumas iterações, também obtemos .

Resposta

A raiz da equação é aproximadamente , com um erro menor que .

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Determine a raiz real positiva da função , considerando que a solução inicial é dada por , aplicando: As três primeiras iterações do método da bisseção;