Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que 1 0^-6, através de diversos métodos.
Equação: (5 x+5) cosh x=9

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que temos aqui. Precisamos encontrar as raízes da equação (5x + 5) cosh x = 9, ou seja, os valores de x que tornam essa equação verdadeira. Vamos trabalhar com métodos numéricos para chegar a uma resposta com erro menor que 1 times 10^-6. Para isso, vamos usar dois métodos populares: o Método de Newton-Raphson e o Método da Bissecção.

Passo 2

Primeiro, vamos usar o Método de Newton-Raphson. Esse método é ótimo para encontrar raízes de funções de forma iterativa, ou seja, melhorando a aproximação passo a passo.
Primeiro, precisamos reescrever nossa equação de forma que fique igual a zero:
f(x) = (5x + 5) cosh x - 9 = 0

Passo 3

Para aplicar o Método de Newton-Raphson, precisamos da derivada da função f(x). Vamos calcular:
f'(x) = 5 cosh x + (5x + 5) sinh x
A derivada é importante porque nos ajuda a determinar a inclinação da função, que é usada para atualizar nossa estimativa da raiz.

Passo 4

Agora, escolhemos um palpite inicial para x. Vamos começar com x0 = 0. Aplicamos a fórmula do Método de Newton-Raphson:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Vamos calcular iterativamente até a diferença entre xn+1 e xn ser menor que 1 times 10^-6.
Iteração 1:
x1 = 0 - (5 times 0 + 5) cosh(0) - 95 cosh(0) + (5 times 0 + 5) sinh(0) = 0 - 5 times 1 - 95 times 1 + 5 times 0 = 0 - -45 = 0.8
Iteração 2:
x2 = 0.8 - (5 times 0.8 + 5) cosh(0.8) - 95 cosh(0.8) + (5 times 0.8 + 5) sinh(0.8) approx 0.8 - 9 times 1.337 - 95 times 1.337 + 9 times 0.737 approx 0.845
Continuamos esse processo até alcançar a precisão desejada.

Passo 5

Após algumas iterações, o Método de Newton-Raphson nos dá uma raiz aproximada de x approx 0,845. Vamos agora conferir com o Método da Bissecção para confirmar.

Passo 6

O Método da Bissecção funciona encontrando um intervalo onde a função muda de sinal, garantindo que existe uma raiz dentro desse intervalo. Sabemos que cosh x é sempre positivo, então vamos testar valores de x para ver onde a função f(x) muda de sinal.
Testando x = 0:
f(0) = (5 times 0 + 5) cosh(0) - 9 = 5 times 1 - 9 = -4
Testando x = 1:
f(1) = (5 times 1 + 5) cosh(1) - 9 approx 10 times 1.543 - 9 = 15.43 - 9 = 6.43
Como f(0) é negativo e f(1) é positivo, sabemos que a raiz está entre 0 e 1. Aplicamos a bissecção dividindo o intervalo pela metade e verificando o sinal da função:
Após algumas iterações, também obtemos x approx 0,845.

Resposta

A raiz da equação (5x + 5) cosh x = 9 é aproximadamente x = 0,845, com um erro menor que 1 times 10^-6.

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