Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que
, através de diversos métodos.
Equação:
Equação:
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que temos aqui. Precisamos encontrar as raízes da equação
, ou seja, os valores de
que tornam essa equação verdadeira. Vamos trabalhar com métodos numéricos para chegar a uma resposta com erro menor que
. Para isso, vamos usar dois métodos populares: o Método de Newton-Raphson e o Método da Bissecção.
Passo 2
Primeiro, vamos usar o Método de Newton-Raphson. Esse método é ótimo para encontrar raízes de funções de forma iterativa, ou seja, melhorando a aproximação passo a passo.
Primeiro, precisamos reescrever nossa equação de forma que fique igual a zero:
Passo 3
Para aplicar o Método de Newton-Raphson, precisamos da derivada da função
. Vamos calcular:
A derivada é importante porque nos ajuda a determinar a inclinação da função, que é usada para atualizar nossa estimativa da raiz.
Passo 4
Agora, escolhemos um palpite inicial para
. Vamos começar com
. Aplicamos a fórmula do Método de Newton-Raphson:
Vamos calcular iterativamente até a diferença entre
e
ser menor que
.
Iteração 1:
Iteração 2:
Continuamos esse processo até alcançar a precisão desejada.
Passo 5
Após algumas iterações, o Método de Newton-Raphson nos dá uma raiz aproximada de
. Vamos agora conferir com o Método da Bissecção para confirmar.
Passo 6
O Método da Bissecção funciona encontrando um intervalo onde a função muda de sinal, garantindo que existe uma raiz dentro desse intervalo. Sabemos que
é sempre positivo, então vamos testar valores de
para ver onde a função
muda de sinal.
Testando
:
Testando
:
Como
é negativo e
é positivo, sabemos que a raiz está entre 0 e 1. Aplicamos a bissecção dividindo o intervalo pela metade e verificando o sinal da função:
Após algumas iterações, também obtemos
.
Resposta
A raiz da equação
é aproximadamente
, com um erro menor que
.