Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que , através de diversos métodos.
Equação:
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que temos aqui. Precisamos encontrar as raízes da equação , ou seja, os valores de que tornam essa equação verdadeira. Vamos trabalhar com métodos numéricos para chegar a uma resposta com erro menor que . Para isso, vamos usar dois métodos populares: o Método de Newton-Raphson e o Método da Bissecção.
Passo 2
Primeiro, vamos usar o **Método de Newton-Raphson**. Esse método é ótimo para encontrar raízes de funções de forma iterativa, ou seja, melhorando a aproximação passo a passo.
Primeiro, precisamos reescrever nossa equação de forma que fique igual a zero:
Passo 3
Para aplicar o Método de Newton-Raphson, precisamos da derivada da função . Vamos calcular:
A derivada é importante porque nos ajuda a determinar a inclinação da função, que é usada para atualizar nossa estimativa da raiz.
Passo 4
Agora, escolhemos um palpite inicial para . Vamos começar com . Aplicamos a fórmula do Método de Newton-Raphson:
Vamos calcular iterativamente até a diferença entre e ser menor que .
**Iteração 1:**
**Iteração 2:**
Continuamos esse processo até alcançar a precisão desejada.
Passo 5
Após algumas iterações, o Método de Newton-Raphson nos dá uma raiz aproximada de . Vamos agora conferir com o **Método da Bissecção** para confirmar.
Passo 6
O **Método da Bissecção** funciona encontrando um intervalo onde a função muda de sinal, garantindo que existe uma raiz dentro desse intervalo. Sabemos que é sempre positivo, então vamos testar valores de para ver onde a função muda de sinal.
Testando :
Testando :
Como é negativo e é positivo, sabemos que a raiz está entre 0 e 1. Aplicamos a bissecção dividindo o intervalo pela metade e verificando o sinal da função:
Após algumas iterações, também obtemos .
Resposta
A raiz da equação é aproximadamente , com um erro menor que .
Exercícios relacionados
A partir da expansão em série
calcule o erro absoluto ao se realizar o truncamento dos 5 primeiros termos com arredondamento simétrico na terceira casa decimal
A partir da expansão em série
calcule o erro absoluto ao se realizar o truncamento dos 5 primeiros termos com arredondamento truncado na terceira casa decimal
Determine a raiz real positiva da função , considerando que a solução inicial é dada por , aplicando:
As três primeiras iterações do método da bisseção;