Aplique as três primeiras iterações do método de Newton para calcular tal que que a matriz ,
seja singular
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar um valor de que torne a matriz singular, ou seja, que o determinante dela seja igual a zero. Para isso, vamos usar o Método de Newton, que é uma técnica iterativa para encontrar raízes de funções. Então, a matéria envolvida aqui é álgebra linear (por causa das matrizes e determinantes) e cálculo (para aplicar o método de Newton). Vamos precisar calcular o determinante da matriz e sua derivada em relação a .
Passo 2
Primeiro, vamos definir a matriz :
Nosso objetivo é encontrar tal que . Para isso, vamos calcular o determinante da matriz .
Passo 3
Para calcular o determinante de uma matriz , usamos a seguinte fórmula:
Onde os elementos da matriz são:
Aplicando isso na nossa matriz :
Simplificando cada termo:
Calculando:
Somando os termos semelhantes:
Então, temos:
Passo 4
Agora, precisamos da derivada de em relação a , que é . Vamos derivar cada termo de :
A derivada é:
Passo 5
Vamos aplicar o Método de Newton, que atualiza a estimativa de usando a fórmula:
Precisamos de um palpite inicial . Vamos escolher .
Iteração 1:
Calculando e :
Atualizando :
Iteração 2:
Calculando e :
Atualizando :
Iteração 3:
Calculando e :
Atualizando :
Resposta
Após três iterações do Método de Newton, aproximamos o valor de que torna a matriz singular como sendo aproximadamente .