Aplique as três primeiras iterações do método de Newton para calcular t in R tal que que a matriz A,
A=[ccc 0.5 & 0.2 & t 0.4 & t & 0.5 t & 0.5 & 0.2 ]
seja singular

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar um valor de que torne a matriz singular, ou seja, que o determinante dela seja igual a zero. Para isso, vamos usar o Método de Newton, que é uma técnica iterativa para encontrar raízes de funções. Então, a matéria envolvida aqui é álgebra linear (por causa das matrizes e determinantes) e cálculo (para aplicar o método de Newton). Vamos precisar calcular o determinante da matriz e sua derivada em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos definir a matriz A = 0.5 & 0.2 & t 0.4 & t & 0.5 t & 0.5 & 0.2 :
Nosso objetivo é encontrar tal que . Para isso, vamos calcular o determinante da matriz .

Passo 3

Para calcular o determinante de uma matriz det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) , usamos a seguinte fórmula:
A = a & b & c d & e & f g & h & i
Onde os elementos da matriz são:
det(A) = 0.5(t cdot 0.2 - 0.5 cdot 0.5) - 0.2(0.4 cdot 0.2 - 0.5 cdot t) + t(0.4 cdot 0.5 - t cdot t)
Aplicando isso na nossa matriz det(A) = 0.5(0.2t - 0.25) - 0.2(0.08 - 0.5t) + t(0.2 - t^2) :
det(A) = 0.5 cdot 0.2t - 0.5 cdot 0.25 - 0.2 cdot 0.08 + 0.2 cdot 0.5t + t cdot 0.2 - t^3
Simplificando cada termo:
det(A) = 0.1t - 0.125 - 0.016 + 0.1t + 0.2t - t^3
Calculando:
det(A) = (0.1t + 0.1t + 0.2t) - (0.125 + 0.016) - t^3
det(A) = 0.4t - 0.141 - t^3
Somando os termos semelhantes:
f(t) = -t^3 + 0.4t - 0.141
Então, temos:

Passo 4

Agora, precisamos da derivada de f(t) = -t^3 + 0.4t - 0.141 em relação a f'(t) = -3t^2 + 0.4 , que é . Vamos derivar cada termo de :
A derivada é:

Passo 5

Vamos aplicar o Método de Newton, que atualiza a estimativa de tn+1 = tn - f(tn)f'(tn) usando a fórmula:
f(0.5) = - (0.5)^3 + 0.4 cdot 0.5 - 0.141 = -0.125 + 0.2 - 0.141 = -0.066
Precisamos de um palpite inicial f'(0.5) = -3(0.5)^2 + 0.4 = -0.75 + 0.4 = -0.35 . Vamos escolher t1 = 0.5 - -0.066-0.35 = 0.5 - 0.1886 approx 0.3114 .
Iteração 1:
Calculando f(0.3114) = - (0.3114)^3 + 0.4 cdot 0.3114 - 0.141 approx -0.0302 + 0.1246 - 0.141 = -0.046 e f'(0.3114) = -3(0.3114)^2 + 0.4 approx -0.2918 + 0.4 = 0.1082 :
t2 = 0.3114 - -0.0460.1082 approx 0.3114 + 0.4247 = 0.7361
f(0.7361) = - (0.7361)^3 + 0.4 cdot 0.7361 - 0.141 approx -0.399 + 0.2944 - 0.141 = -0.2456
Atualizando f'(0.7361) = -3(0.7361)^2 + 0.4 approx -1.625 + 0.4 = -1.225 :
t3 = 0.7361 - -0.2456-1.225 approx 0.7361 - 0.2005 = 0.5356
Iteração 2:
Calculando e :
Atualizando :
Iteração 3:
Calculando e :
Atualizando :

Resposta

Após três iterações do Método de Newton, aproximamos o valor de que torna a matriz singular como sendo aproximadamente .

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