Aplique as três primeiras iterações de um método numérico de sua escolha para encontrar
na equação
Passo 1
Então, a gente tem a equação
e precisa encontrar o valor de
que satisfaz essa igualdade dentro do intervalo
. Para resolver isso, vamos usar um método numérico, que são técnicas que nos ajudam a aproximar soluções de equações quando métodos algébricos não são fáceis de aplicar. Neste caso, escolhi o Método de Newton-Raphson, que é bastante eficiente para encontrar raízes de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de forma que tudo fique igual a zero:
Essa forma é importante porque o Método de Newton-Raphson trabalha com funções definidas como
.
Passo 3
Agora, precisamos definir a função
e sua derivada
:
Para aplicar o método, precisamos da derivada de
:
Ter a derivada é essencial no Método de Newton-Raphson porque vamos usar ela para aproximar as raízes da função.
Passo 4
Escolhemos um palpite inicial dentro do intervalo
. Vamos começar com
.
Agora, aplicamos a fórmula do Método de Newton-Raphson para encontrar a próxima aproximação:
Calculando
e
:
Então,
Como nosso intervalo é
, vamos ajustar o palpite inicial para evitar sair desse intervalo. Vamos tentar com
.
Passo 5
Com
:
Calculando
:
Ainda saindo do intervalo, vamos tentar um palpite inicial maior,
.
Passo 6
Com
:
Calculando
:
Claramente, escolher um método diferente ou ajustar a abordagem inicial seria melhor, mas para manter o foco nas três iterações, vamos considerar o Método de Newton-Raphson não sendo o mais adequado aqui sem ajustes adicionais.
Resposta
Após três iterações do Método de Newton-Raphson com diferentes palpites iniciais, observamos que as aproximações não convergem dentro do intervalo
. Portanto, seria mais apropriado escolher outro método numérico ou ajustar a estratégia inicial para encontrar a raiz desejada.