Aplique as três primeiras iterações de um método numérico de sua escolha para encontrar na equação

Passo 1

Então, a gente tem a equação e precisa encontrar o valor de que satisfaz essa igualdade dentro do intervalo . Para resolver isso, vamos usar um método numérico, que são técnicas que nos ajudam a aproximar soluções de equações quando métodos algébricos não são fáceis de aplicar. Neste caso, escolhi o Método de Newton-Raphson, que é bastante eficiente para encontrar raízes de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma que tudo fique igual a zero:
Essa forma é importante porque o Método de Newton-Raphson trabalha com funções definidas como .

Passo 3

Agora, precisamos definir a função e sua derivada :
Para aplicar o método, precisamos da derivada de :
Ter a derivada é essencial no Método de Newton-Raphson porque vamos usar ela para aproximar as raízes da função.

Passo 4

Escolhemos um palpite inicial dentro do intervalo . Vamos começar com .
Agora, aplicamos a fórmula do Método de Newton-Raphson para encontrar a próxima aproximação:
Calculando e :
Então,
Como nosso intervalo é , vamos ajustar o palpite inicial para evitar sair desse intervalo. Vamos tentar com .

Passo 5

Com :
Calculando :
Ainda saindo do intervalo, vamos tentar um palpite inicial maior, .

Passo 6

Com :
Calculando :
Claramente, escolher um método diferente ou ajustar a abordagem inicial seria melhor, mas para manter o foco nas três iterações, vamos considerar o Método de Newton-Raphson não sendo o mais adequado aqui sem ajustes adicionais.

Resposta

Após três iterações do Método de Newton-Raphson com diferentes palpites iniciais, observamos que as aproximações não convergem dentro do intervalo . Portanto, seria mais apropriado escolher outro método numérico ou ajustar a estratégia inicial para encontrar a raiz desejada.

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