Aplique as três primeiras iterações de um método numérico de sua escolha para encontrar x na equação
-2 x^6-1.5 x^4+12 x=-1, x in R:[0,1]

Passo 1

Então, a gente tem a equação e precisa encontrar o valor de que satisfaz essa igualdade dentro do intervalo . Para resolver isso, vamos usar um método numérico, que são técnicas que nos ajudam a aproximar soluções de equações quando métodos algébricos não são fáceis de aplicar. Neste caso, escolhi o Método de Newton-Raphson, que é bastante eficiente para encontrar raízes de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma que tudo fique igual a zero:
-2x^6 - 1.5x^4 + 12x + 1 = 0
Essa forma é importante porque o Método de Newton-Raphson trabalha com funções definidas como .

Passo 3

Agora, precisamos definir a função f(x) = -2x^6 - 1.5x^4 + 12x + 1 e sua derivada f'(x) = -12x^5 - 6x^3 + 12 :
Para aplicar o método, precisamos da derivada de :
Ter a derivada é essencial no Método de Newton-Raphson porque vamos usar ela para aproximar as raízes da função.

Passo 4

Escolhemos um palpite inicial dentro do intervalo x1 = x0 - f(x0)f'(x0) . Vamos começar com f(0.5) = -2(0.5)^6 - 1.5(0.5)^4 + 12(0.5) + 1 approx -0.03125 - 0.09375 + 6 + 1 = 6.875 .
Agora, aplicamos a fórmula do Método de Newton-Raphson para encontrar a próxima aproximação:
f'(0.5) = -12(0.5)^5 - 6(0.5)^3 + 12 approx -0.375 - 0.75 + 12 = 10.875
Calculando x1 = 0.5 - 6.87510.875 approx 0.5 - 0.632 approx -0.132 e :
Então,
Como nosso intervalo é , vamos ajustar o palpite inicial para evitar sair desse intervalo. Vamos tentar com .

Passo 5

Com f(0.6) = -2(0.6)^6 - 1.5(0.6)^4 + 12(0.6) + 1 approx -0.279936 - 0.31104 + 7.2 + 1 = 7.608 :
f'(0.6) = -12(0.6)^5 - 6(0.6)^3 + 12 approx -1.8744 - 1.296 + 12 = 8.8296
x1 = 0.6 - 7.6088.8296 approx 0.6 - 0.861 approx -0.261
Calculando :
Ainda saindo do intervalo, vamos tentar um palpite inicial maior, .

Passo 6

Com f(0.9) = -2(0.9)^6 - 1.5(0.9)^4 + 12(0.9) + 1 approx -1.063 - 1.09275 + 10.8 + 1 = 9.64425 :
f'(0.9) = -12(0.9)^5 - 6(0.9)^3 + 12 approx -12(0.59049) - 6(0.729) + 12 approx -7.08588 - 4.374 + 12 = 0.54012
x1 = 0.9 - 9.644250.54012 approx 0.9 - 17.841 approx -16.941
Calculando :
Claramente, escolher um método diferente ou ajustar a abordagem inicial seria melhor, mas para manter o foco nas três iterações, vamos considerar o Método de Newton-Raphson não sendo o mais adequado aqui sem ajustes adicionais.

Resposta

Após três iterações do Método de Newton-Raphson com diferentes palpites iniciais, observamos que as aproximações não convergem dentro do intervalo . Portanto, seria mais apropriado escolher outro método numérico ou ajustar a estratégia inicial para encontrar a raiz desejada.

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