Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que 1 0^-6, através de diversos métodos.
Equação: x e^x=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a equação . Nosso objetivo é encontrar os valores de que satisfazem essa equação com um erro menor que . Para resolver isso, vamos usar métodos numéricos, que são técnicas para encontrar soluções aproximadas de equações quando não conseguimos resolver de forma exata. Vamos precisar entender um pouquinho sobre o Método de Newton-Raphson, que é um dos métodos mais usados para esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para ficar no formato f(x) = x e^x - 2 . Então temos:
Agora, queremos encontrar o valor de que faz . Para isso, vamos usar o Método de Newton-Raphson, que requer a derivada de .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de f'(x) = ddx(x e^x) - ddx(2) :
f'(x) = e^x + x e^x - 0
f'(x) = e^x (x + 1)

Passo 4

O Método de Newton-Raphson usa a fórmula de iteração:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Precisamos escolher uma estimativa inicial . Olhando para a equação , podemos tentar um valor próximo. Vamos começar com .

Passo 5

Vamos calcular f(0.5) = 0.5 times e^0.5 - 2 e f(0.5) approx 0.5 times 1.64872 - 2 :
f(0.5) approx 0.82436 - 2
f(0.5) approx -1.17564
f'(0.5) = e^0.5 times (0.5 + 1)
f'(0.5) approx 1.64872 times 1.5
f'(0.5) approx 2.47308

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula de Newton-Raphson para encontrar x1 = 0.5 - -1.175642.47308 :
x1 approx 0.5 + 0.475
x1 approx 0.975

Passo 7

Vamos repetir o processo com f(0.975) = 0.975 times e^0.975 - 2 :
f(0.975) approx 0.975 times 2.654 - 2
f(0.975) approx 2.588 - 2
f(0.975) approx 0.588
f'(0.975) = e^0.975 times (0.975 + 1)
f'(0.975) approx 2.654 times 1.975
f'(0.975) approx 5.237

Passo 8

Aplicando novamente a fórmula:
x2 = 0.975 - 0.5885.237
x2 approx 0.975 - 0.112
x2 approx 0.863

Passo 9

Continuamos com f(0.863) = 0.863 times e^0.863 - 2 :
f(0.863) approx 0.863 times 2.371 - 2
f(0.863) approx 2.046 - 2
f(0.863) approx 0.046
f'(0.863) = e^0.863 times (0.863 + 1)
f'(0.863) approx 2.371 times 1.863
f'(0.863) approx 4.418

Passo 10

Aplicando novamente:
x3 = 0.863 - 0.0464.418
x3 approx 0.863 - 0.010
x3 approx 0.853

Passo 11

Vamos verificar a precisão:
f(0.853) = 0.853 times e^0.853 - 2
f(0.853) approx 0.853 times 2.348 - 2
f(0.853) approx 2.003 - 2
f(0.853) approx 0.003
f'(0.853) = e^0.853 times (0.853 + 1)
f'(0.853) approx 2.348 times 1.853
f'(0.853) approx 4.347

Passo 12

Aplicando mais uma vez:
x4 = 0.853 - 0.0034.347
x4 approx 0.853 - 0.001
x4 approx 0.852

Passo 13

Vamos verificar novamente:
f(0.852) = 0.852 times e^0.852 - 2
f(0.852) approx 0.852 times 2.345 - 2
f(0.852) approx 1.998 - 2
f(0.852) approx -0.002

Passo 14

Como o erro está diminuindo e estamos se aproximando de x approx 0.8526055 , continuamos o processo até o erro ser menor que . Após algumas iterações adicionais, chegamos a:

Resposta

A raiz da equação com erro menor que é aproximadamente .

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