Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que , através de diversos métodos.
Equação:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a equação . Nosso objetivo é encontrar os valores de que satisfazem essa equação com um erro menor que . Para resolver isso, vamos usar métodos numéricos, que são técnicas para encontrar soluções aproximadas de equações quando não conseguimos resolver de forma exata. Vamos precisar entender um pouquinho sobre o Método de Newton-Raphson, que é um dos métodos mais usados para esse tipo de problema.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para ficar no formato . Então temos:
Agora, queremos encontrar o valor de que faz . Para isso, vamos usar o Método de Newton-Raphson, que requer a derivada de .
Passo 3
Vamos calcular a derivada de :
Passo 4
O Método de Newton-Raphson usa a fórmula de iteração:
Precisamos escolher uma estimativa inicial . Olhando para a equação , podemos tentar um valor próximo. Vamos começar com .
Passo 5
Vamos calcular e :
Passo 6
Agora, aplicamos a fórmula de Newton-Raphson para encontrar :
Passo 7
Vamos repetir o processo com :
Passo 8
Aplicando novamente a fórmula:
Passo 9
Continuamos com :
Passo 10
Aplicando novamente:
Passo 11
Vamos verificar a precisão:
Passo 12
Aplicando mais uma vez:
Passo 13
Vamos verificar novamente:
Passo 14
Como o erro está diminuindo e estamos se aproximando de , continuamos o processo até o erro ser menor que . Após algumas iterações adicionais, chegamos a:
Resposta
A raiz da equação com erro menor que é aproximadamente .