Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que
, através de diversos métodos.
Equação:
Equação:
Passo 1
Então, a gente tem que encontrar as raízes da equação
, ou seja, resolver
. Para isso, vamos usar métodos numéricos que nos ajudem a encontrar os valores de
que satisfazem essa equação com um erro menor que
. Vamos precisar entender um pouco sobre funções hiperbólicas e métodos de iteração, como o método de Newton-Raphson.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. A função seno hiperbólico é definida por
. Isso vai nos ajudar a reescrever a equação de uma forma que facilite os cálculos.
Passo 3
Agora, substituímos
na equação original:
Simplificando:
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para isolar os termos:
Essa forma ainda é bem complicada para resolver de forma analítica, então vamos optar por um método numérico.
Passo 5
Escolhemos o método de Newton-Raphson para resolver
. Esse método usa uma aproximação inicial e refinamentos sucessivos para chegar à solução com a precisão desejada.
Passo 6
Para aplicar o Newton-Raphson, precisamos da derivada da função
. Calculando:
onde
.
Passo 7
Escolhemos uma estimativa inicial. Olhando para a equação, tentamos valores próximos a onde
muda o sinal, por exemplo, próximo de
.
Vamos começar com
.
Passo 8
Calculamos
e
:
Passo 9
Aplicamos a fórmula de Newton-Raphson:
Passo 10
Repetimos o processo com
:
Passo 11
Continuamos iterando até que a diferença entre os valores de
seja menor que
. Após algumas iterações, encontramos que:
Resposta
A raiz da equação
com erro menor que
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Aplique as três primeiras iterações de um método numérico de sua escolha para encontrar
na equação
Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que
, através de diversos métodos.
Equação:
Equação:
Mostre que a as sequências abaixo convergem linearmente para
. Calcule o valor de
tal que
Proponha uma condição inicial para aplicar as duas primeiras iterações dos métodos iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel para o sistema