Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que 1 0^-6, através de diversos métodos.
Equação: (x^2-1) senh x=e^-2 x

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar as raízes da equação , ou seja, resolver . Para isso, vamos usar métodos numéricos que nos ajudem a encontrar os valores de que satisfazem essa equação com um erro menor que . Vamos precisar entender um pouco sobre funções hiperbólicas e métodos de iteração, como o método de Newton-Raphson.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . A função seno hiperbólico é definida por . Isso vai nos ajudar a reescrever a equação de uma forma que facilite os cálculos.

Passo 3

Agora, substituímos (x^2-1) (e^x - e^-x2) = e^-2x na equação original:
(x^2-1)(e^x - e^-x)2 = e^-2x
Simplificando:

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para isolar os termos:
(x^2-1)(e^x - e^-x) = 2e^-2x
(x^2-1)e^x - (x^2-1)e^-x - 2e^-2x = 0
Essa forma ainda é bem complicada para resolver de forma analítica, então vamos optar por um método numérico.

Passo 5

Escolhemos o método de Newton-Raphson para resolver . Esse método usa uma aproximação inicial e refinamentos sucessivos para chegar à solução com a precisão desejada.

Passo 6

Para aplicar o Newton-Raphson, precisamos da derivada da função f'(x) = 2x sinh x + (x^2-1) cosh x + 2e^-2x . Calculando:
onde .

Passo 7

Escolhemos uma estimativa inicial. Olhando para a equação, tentamos valores próximos a onde muda o sinal, por exemplo, próximo de .
Vamos começar com .

Passo 8

Calculamos f(1) = (1 - 1) sinh(1) - e^-2 = 0 - e^-2 = -e^-2 approx -0.1353 e f'(1) = 2(1)sinh(1) + (1 - 1)cosh(1) + 2e^-2 = 2sinh(1) + 0 + 2e^-2 approx 2(1.1752) + 2(0.1353) approx 2.3504 + 0.2706 = 2.6210 :

Passo 9

Aplicamos a fórmula de Newton-Raphson:
x1 = x0 - f(x0)f'(x0) = 1 - -0.13532.6210 approx 1 + 0.0516 = 1.0516

Passo 10

Repetimos o processo com f(1.0516) approx ((1.0516)^2 - 1) sinh(1.0516) - e^-2(1.0516) approx (1.1053 - 1)(1.4028) - e^-2.1032 approx 0.1053 times 1.4028 - 0.1223 approx 0.1477 - 0.1223 = 0.0254 :
f'(1.0516) approx 2(1.0516)sinh(1.0516) + (1.1053 - 1)cosh(1.0516) + 2e^-2.1032 approx 2.1032 times 1.4028 + 0.1053 times 1.6004 + 0.2446 approx 2.9523 + 0.1683 + 0.2446 approx 3.3652
x2 = 1.0516 - 0.02543.3652 approx 1.0516 - 0.0075 = 1.0441

Passo 11

Continuamos iterando até que a diferença entre os valores de x approx 1.0434 seja menor que . Após algumas iterações, encontramos que:

Resposta

A raiz da equação com erro menor que é aproximadamente .

Exercícios relacionados