Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que , através de diversos métodos.
Equação:

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar as raízes da equação , ou seja, resolver . Para isso, vamos usar métodos numéricos que nos ajudem a encontrar os valores de que satisfazem essa equação com um erro menor que . Vamos precisar entender um pouco sobre funções hiperbólicas e métodos de iteração, como o método de Newton-Raphson.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . A função seno hiperbólico é definida por . Isso vai nos ajudar a reescrever a equação de uma forma que facilite os cálculos.

Passo 3

Agora, substituímos na equação original:
Simplificando:

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para isolar os termos:
Essa forma ainda é bem complicada para resolver de forma analítica, então vamos optar por um método numérico.

Passo 5

Escolhemos o método de Newton-Raphson para resolver . Esse método usa uma aproximação inicial e refinamentos sucessivos para chegar à solução com a precisão desejada.

Passo 6

Para aplicar o Newton-Raphson, precisamos da derivada da função . Calculando:
onde .

Passo 7

Escolhemos uma estimativa inicial. Olhando para a equação, tentamos valores próximos a onde muda o sinal, por exemplo, próximo de .
Vamos começar com .

Passo 8

Calculamos e :

Passo 9

Aplicamos a fórmula de Newton-Raphson:

Passo 10

Repetimos o processo com :

Passo 11

Continuamos iterando até que a diferença entre os valores de seja menor que . Após algumas iterações, encontramos que:

Resposta

A raiz da equação com erro menor que é aproximadamente .

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