Mostre que a as sequências abaixo convergem linearmente para
. Calcule o valor de
tal que
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que a sequência
converge linearmente para
. Além disso, devemos encontrar um valor de
tal que
. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de convergência de sequências e, especificamente, o que significa uma convergência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a sequência
realmente converge para
. À medida que
aumenta, o valor de
diminui e se aproxima de zero. Matematicamente, temos:
Então, confirmamos que a sequência converge para
.
Passo 3
Agora, vamos provar que essa convergência é linear. A convergência linear significa que existe uma constante
tal que:
Para nossa sequência:
Dividindo os dois lados:
Observe que
para todo
. Portanto, podemos definir
, que é uma constante menor que 1, confirmando a convergência linear da sequência.
Passo 4
Agora, vamos encontrar o valor de
tal que:
Resolvendo a desigualdade:
Como
deve ser um número inteiro, o menor valor que satisfaz essa condição é
.
Resposta
O menor valor de
que satisfaz
é
.