Mostre que a as sequências abaixo convergem linearmente para p=0. Calcule o valor de n tal que |pn-p| <= 5 cdot 10^-2
pn=1n^2, n >= 1

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que a sequência converge linearmente para . Além disso, devemos encontrar um valor de tal que . Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de convergência de sequências e, especificamente, o que significa uma convergência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a sequência limn to infty 1n^2 = 0 realmente converge para . À medida que aumenta, o valor de diminui e se aproxima de zero. Matematicamente, temos:
Então, confirmamos que a sequência converge para .

Passo 3

Agora, vamos provar que essa convergência é linear. A convergência linear significa que existe uma constante | pn+1 - p | <= C | pn - p | tal que:
| pn+1 - 0 | = 1(n+1)^2
Para nossa sequência:
| pn - 0 | = 1n^2
| pn+1 - 0 || pn - 0 | = 1(n+1)^21n^2 = ( nn+1 )^2
Dividindo os dois lados:
Observe que para todo . Portanto, podemos definir , que é uma constante menor que 1, confirmando a convergência linear da sequência.

Passo 4

Agora, vamos encontrar o valor de | pn - p | = 1n^2 <= 5 cdot 10^-2 tal que:
1n^2 <= 0,05
Resolvendo a desigualdade:
n^2 >= 10,05
n^2 >= 20
n >= raiz20 approx 4,472
Como deve ser um número inteiro, o menor valor que satisfaz essa condição é .

Resposta

O menor valor de que satisfaz é .

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