Após considerável experimentação e análise de dados, a seguinte equação empírica para a queda de pressão através de um tipo particular de coluna de recheio foi obtida:
na qual
queda de pressão em
viscosidade do fluido em
profundidade do recheio, em
densidade do fluido, em
velocidade do fluido, em
e
diâmetro do recheio, em m .
a) Quais são as unidades de 3,61 ? (Adimensional)
b) Suponha que as variáveis sejam dadas em unidades do sistema americano de engenharia, as quais deverão ser usadas diretamente na fórmula, sem fazer a conversão previamente para as unidades do S.I. Modifique a fórmula de tal modo que a queda de pressão ainda continue sendo dada em
mas que todas as outras variáveis entrem na fórmula com unidades do sistema americano de engenharia.
a) Quais são as unidades de 3,61 ? (Adimensional)
b) Suponha que as variáveis sejam dadas em unidades do sistema americano de engenharia, as quais deverão ser usadas diretamente na fórmula, sem fazer a conversão previamente para as unidades do S.I. Modifique a fórmula de tal modo que a queda de pressão ainda continue sendo dada em
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação empírica que relaciona a queda de pressão (
) em uma coluna de recheio com várias variáveis como viscosidade (
), profundidade do recheio (
), densidade do fluido (
), velocidade do fluido (
) e diâmetro do recheio (
). A gente precisa resolver duas partes:
a) Descobrir quais são as unidades da constante 3,61 na equação.
b) Ajustar a fórmula para o sistema americano de engenharia, mantendo a queda de pressão em
, mas usando as unidades americanas para as outras variáveis.
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre unidades de medida e como elas se relacionam em fórmulas físicas.
Passo 2
Parte a) Vamos descobrir as unidades da constante 3,61.
Primeiro, a equação dada é:
Queremos que ambas as partes da equação tenham as mesmas unidades. Sabemos que
tem unidades de pressão, que são
. Então, a unidade da constante 3,61 deve compensar as unidades das outras variáveis para que o lado direito também resulte em
.
Vamos analisar as unidades de cada parte:
-
(viscosidade): -
(profundidade): -
(densidade): -
(velocidade): -
(diâmetro):
Agora, elevamos cada uma dessas unidades às potências dadas na equação:
-
: -
: -
: -
: -
:
Multiplicando todas essas unidades:
Simplificando as potências:
Agora, somamos os expoentes de cada unidade:
- kg:
- m:
- s:
Então, o lado direito tem unidades de:
Queremos que isso seja igual a
. Sabemos que
. Então:
Comparando as duas expressões, vemos que as unidades já coincidem, o que significa que a constante 3,61 é adimensional.
Passo 3
Parte b) Agora, precisamos modificar a fórmula para usar unidades do sistema americano de engenharia, mas ainda obter
em
.
Primeiro, vamos listar as unidades no sistema americano que correspondem às variáveis:
-
(viscosidade): unidades comuns são poise §. Porém, em engenharia americana, usamos lb·s/ft². -
(profundidade): pés (ft) -
(densidade): slugs/ft³ -
(velocidade): pés por segundo (ft/s) -
(diâmetro): pés (ft) -
(queda de pressão): normalmente em lbf/ft²
Queremos que
esteja em
. Para isso, precisamos converter lbf/ft² para N/m².
Sabemos que:
Então, a constante na fórmula original precisa ser ajustada para refletir essa conversão.
A fórmula original é:
Vamos ajustar a constante para o sistema americano:
Calculando a nova constante:
Portanto, a fórmula ajustada fica:
Resposta
a) A constante 3,61 é adimensional.
b) A fórmula ajustada para o sistema americano de engenharia é: