Após considerável experimentação e análise de dados, a seguinte equação empírica para a queda de pressão através de um tipo particular de coluna de recheio foi obtida:
De
na qual De queda de pressão em N / m^2 ; mu= viscosidade do fluido em kg /(m s) ; N= profundidade do recheio, em m ; rho= densidade do fluido, em kg / m^3, v= velocidade do fluido, em m / s e D= diâmetro do recheio, em m .
a) Quais são as unidades de 3,61 ? (Adimensional)
b) Suponha que as variáveis sejam dadas em unidades do sistema americano de engenharia, as quais deverão ser usadas diretamente na fórmula, sem fazer a conversão previamente para as unidades do S.I. Modifique a fórmula de tal modo que a queda de pressão ainda continue sendo dada em N / m^2 mas que todas as outras variáveis entrem na fórmula com unidades do sistema americano de engenharia.
De

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação empírica que relaciona a queda de pressão ( De) em uma coluna de recheio com várias variáveis como viscosidade ( mu), profundidade do recheio ( N), densidade do fluido ( rho), velocidade do fluido ( v) e diâmetro do recheio ( D). A gente precisa resolver duas partes:
a) Descobrir quais são as unidades da constante 3,61 na equação.
b) Ajustar a fórmula para o sistema americano de engenharia, mantendo a queda de pressão em N/m^2, mas usando as unidades americanas para as outras variáveis.
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre unidades de medida e como elas se relacionam em fórmulas físicas.

Passo 2

Parte a) Vamos descobrir as unidades da constante 3,61.
Primeiro, a equação dada é:
De
Queremos que ambas as partes da equação tenham as mesmas unidades. Sabemos que De tem unidades de pressão, que são N/m^2. Então, a unidade da constante 3,61 deve compensar as unidades das outras variáveis para que o lado direito também resulte em N/m^2.
Vamos analisar as unidades de cada parte:
  • mu (viscosidade): kg/(m cdot s)
  • N (profundidade): m
  • rho (densidade): kg/m^3
  • v (velocidade): m/s
  • D (diâmetro): m
Agora, elevamos cada uma dessas unidades às potências dadas na equação:
  • mu^0,15: (kg/(m cdot s))^0,15
  • N: m
  • rho^0,85: (kg/m^3)^0,85
  • v^1,85: (m/s)^1,85
  • D^1,15: m^1,15
Multiplicando todas essas unidades:
(kgm cdot s)^0,15 cdot m cdot (kgm^3)^0,85 cdot (ms)^1,85 div m^1,15
Simplificando as potências:
kg^0,15 cdot m^-0,15 cdot s^-0,15 cdot m cdot kg^0,85 cdot m^-2,55 cdot m^1,85 cdot s^-1,85 div m^1,15
Agora, somamos os expoentes de cada unidade:
  • kg: 0,15 + 0,85 = 1
  • m: -0,15 + 1 - 2,55 + 1,85 - 1,15 = -1
  • s: -0,15 - 1,85 = -2
Então, o lado direito tem unidades de:
kgm cdot s^2
Queremos que isso seja igual a N/m^2. Sabemos que N = kg cdot m/s^2. Então:
kgm cdot s^2 = Nm^2
Comparando as duas expressões, vemos que as unidades já coincidem, o que significa que a constante 3,61 é adimensional.

Passo 3

Parte b) Agora, precisamos modificar a fórmula para usar unidades do sistema americano de engenharia, mas ainda obter De em N/m^2.
Primeiro, vamos listar as unidades no sistema americano que correspondem às variáveis:
  • mu (viscosidade): unidades comuns são poise §. Porém, em engenharia americana, usamos lb·s/ft².
  • N (profundidade): pés (ft)
  • rho (densidade): slugs/ft³
  • v (velocidade): pés por segundo (ft/s)
  • D (diâmetro): pés (ft)
  • De (queda de pressão): normalmente em lbf/ft²
Queremos que De esteja em N/m^2. Para isso, precisamos converter lbf/ft² para N/m².
Sabemos que:
1 , lbf/ft^2 approx 47,8803 , N/m^2
Então, a constante na fórmula original precisa ser ajustada para refletir essa conversão.
A fórmula original é:
De
Vamos ajustar a constante para o sistema americano:
De
Calculando a nova constante:
3,61 times 47,8803 approx 172,7
Portanto, a fórmula ajustada fica:
De

Resposta

a) A constante 3,61 é adimensional.
b) A fórmula ajustada para o sistema americano de engenharia é:
De

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