Apresentados os dados da tabela:
x 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
y 6,5 11,5 16,5 21,5 26,5 31,5 36,5 41,5 46,5 51,5
Construa o polinômio de mínimo quadrado de grau 1. (y=a0+a1 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com valores de e e precisa encontrar o polinômio de mínimo quadrado de grau 1, que é basicamente uma reta que melhor se ajusta aos dados. Para isso, vamos usar conceitos de regressão linear, que ajuda a encontrar a melhor linha que representa a relação entre e .

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos. Vamos listar todos os valores de |c|cccccccccc| hline x & 1 & 3 & 5 & 7 & 9 & 11 & 13 & 15 & 17 & 19 hline y & 6,5 & 11,5 & 16,5 & 21,5 & 26,5 & 31,5 & 36,5 & 41,5 & 46,5 & 51,5 hline e :
Vamos precisar calcular algumas somas importantes para achar os coeficientes da reta.

Passo 3

Vamos calcular as seguintes somas:
sumx &= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 sumy &= 6,5 + 11,5 + 16,5 + 21,5 + 26,5 + 31,5 + 36,5 + 41,5 + 46,5 + 51,5 sumx^2 &= 1^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2 + 9^2 + 11^2 + 13^2 + 15^2 + 17^2 + 19^2 sumx y &= (1)(6,5) + (3)(11,5) + (5)(16,5) + (7)(21,5) + (9)(26,5) & + (11)(31,5) + (13)(36,5) + (15)(41,5) + (17)(46,5) + (19)(51,5)
Vamos calcular cada uma dessas somas:
sumx = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 100
sumy = 6,5 + 11,5 + 16,5 + 21,5 + 26,5 + 31,5 + 36,5 + 41,5 + 46,5 + 51,5 = 289
sumx^2 = 1 + 9 + 25 + 49 + 81 + 121 + 169 + 225 + 289 + 361 = 1330
sumx y = 6,5 + 34,5 + 82,5 + 150,5 + 238,5 + 346,5 + 474,5 + 622,5 + 790,5 + 978,5 = 4204,5

Passo 4

Agora, vamos usar as fórmulas da regressão linear para encontrar os coeficientes a1 = n sumx y - sumx sumyn sumx^2 - (sumx)^2 e a0 = sumy - a1 sumxn . As fórmulas são:
a1 = 10 times 4204,5 - 100 times 28910 times 1330 - 100^2 = 42045 - 2890013300 - 10000 = 131453300 approx 3,98
a0 = 289 - 3,98 times 10010 = 289 - 39810 = -10910 = -10,9
Onde é o número de pares de dados. Neste caso, .
Vamos calcular :
Agora, vamos calcular :

Resposta

O polinômio de mínimo quadrado de grau 1 que melhor se ajusta aos dados é:
y = -10,9 + 3,98,x

Exercícios relacionados