Aproxime a função abaixo por uma função linear utilizando o método dos mínimos quadrados.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma função cúbica, , definida no intervalo . O objetivo é encontrar uma função linear da forma que melhor aproxima nesse intervalo usando o método dos mínimos quadrados. Esse método ajuda a encontrar os coeficientes e que minimizam o erro entre as duas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o método dos mínimos quadrados. Basicamente, a gente quer minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre e a nossa função linear no intervalo . Matematicamente, isso é representado pela integral:
Passo 3
Para minimizar essa integral, precisamos calcular as derivadas parciais em relação a e e igualá-las a zero. Isso nos dá um sistema de equações que podemos resolver para encontrar e .
Passo 4
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Para simplificar, precisamos calcular algumas integrais básicas:
Passo 5
Calculando essas integrais:
Passo 6
Agora, montamos o sistema de equações a partir das derivadas:
Substituindo os valores das integrais:
Passo 7
Calculando as integrais do lado direito:
Primeira integral:
Segunda integral:
Passo 8
Agora, nosso sistema fica:
Vamos multiplicar a segunda equação por 2 para facilitar:
Passo 9
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Passo 10
Agora que temos , substituímos na primeira equação:
Resposta
A função linear que aproxima no intervalo pelo método dos mínimos quadrados é: