Aproxime a função abaixo por uma função linear (y=a0+a1 x) utilizando o método dos mínimos quadrados.
f(x)=2 x^3-x^2+x-5 [0,1]

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma função cúbica, , definida no intervalo . O objetivo é encontrar uma função linear da forma que melhor aproxima nesse intervalo usando o método dos mínimos quadrados. Esse método ajuda a encontrar os coeficientes e que minimizam o erro entre as duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método dos mínimos quadrados. Basicamente, a gente quer minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre integral0^1 ( f(x) - (a0 + a1x) )^2 dx e a nossa função linear no intervalo . Matematicamente, isso é representado pela integral:

Passo 3

Para minimizar essa integral, precisamos calcular as derivadas parciais em relação a e e igualá-las a zero. Isso nos dá um sistema de equações que podemos resolver para encontrar e .

Passo 4

Vamos expandir a expressão dentro da integral:
integral0^1 ( 2x^3 - x^2 + x - 5 - a0 - a1x )^2 dx
Para simplificar, precisamos calcular algumas integrais básicas:
integral0^1 1 , dx, integral0^1 x , dx, integral0^1 x^2 , dx, integral0^1 x^3 , dx, integral0^1 x^4 , dx

Passo 5

Calculando essas integrais:
integral0^1 1 , dx = 1
integral0^1 x , dx = 12
integral0^1 x^2 , dx = 13
integral0^1 x^3 , dx = 14
integral0^1 x^4 , dx = 15

Passo 6

Agora, montamos o sistema de equações a partir das derivadas:
a0 cdot integral0^1 1 , dx + a1 cdot integral0^1 x , dx = integral0^1 f(x) , dx a0 cdot integral0^1 x , dx + a1 cdot integral0^1 x^2 , dx = integral0^1 x f(x) , dx
Substituindo os valores das integrais:
a0 cdot 1 + a1 cdot 12 = integral0^1 (2x^3 - x^2 + x - 5) , dx a0 cdot 12 + a1 cdot 13 = integral0^1 x(2x^3 - x^2 + x - 5) , dx

Passo 7

Calculando as integrais do lado direito:
Primeira integral:
integral0^1 (2x^3 - x^2 + x - 5) , dx = [ 2x^44 - x^33 + x^22 - 5x ]0^1 = 12 - 13 + 12 - 5 = -133
Segunda integral:
integral0^1 x(2x^3 - x^2 + x - 5) , dx = integral0^1 (2x^4 - x^3 + x^2 - 5x) , dx = [ 2x^55 - x^44 + x^33 - 5x^22 ]0^1 = 25 - 14 + 13 - 52 = -2912

Passo 8

Agora, nosso sistema fica:
a0 + 12a1 = -133 12a0 + 13a1 = -2912
Vamos multiplicar a segunda equação por 2 para facilitar:
a0 + 12a1 = -133 a0 + 23a1 = -296

Passo 9

Subtraindo a primeira equação da segunda:
( a0 + 23a1 ) - ( a0 + 12a1 ) = -296 + 133
23a1 - 12a1 = -296 + 266 = -36 = -12
( 46 - 36 )a1 = -12
16a1 = -12 implies a1 = -3

Passo 10

Agora que temos a0 + 12(-3) = -133 , substituímos na primeira equação:
a0 - 32 = -133
a0 = -133 + 32 = -266 + 96 = -176

Resposta

A função linear que aproxima y = -176 - 3x no intervalo pelo método dos mínimos quadrados é:

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