Aproxime a função abaixo por uma função linear
utilizando o método dos mínimos quadrados.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma função cúbica,
, definida no intervalo
. O objetivo é encontrar uma função linear da forma
que melhor aproxima
nesse intervalo usando o método dos mínimos quadrados. Esse método ajuda a encontrar os coeficientes
e
que minimizam o erro entre as duas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o método dos mínimos quadrados. Basicamente, a gente quer minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre
e a nossa função linear
no intervalo
. Matematicamente, isso é representado pela integral:
Passo 3
Para minimizar essa integral, precisamos calcular as derivadas parciais em relação a
e
e igualá-las a zero. Isso nos dá um sistema de equações que podemos resolver para encontrar
e
.
Passo 4
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Para simplificar, precisamos calcular algumas integrais básicas:
Passo 5
Calculando essas integrais:
Passo 6
Agora, montamos o sistema de equações a partir das derivadas:
Substituindo os valores das integrais:
Passo 7
Calculando as integrais do lado direito:
Primeira integral:
Segunda integral:
Passo 8
Agora, nosso sistema fica:
Vamos multiplicar a segunda equação por 2 para facilitar:
Passo 9
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Passo 10
Agora que temos
, substituímos na primeira equação:
Resposta
A função linear que aproxima
no intervalo
pelo método dos mínimos quadrados é: