Aproxime a função abaixo por uma função linear utilizando o método dos mínimos quadrados.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma função cúbica, , definida no intervalo . O objetivo é encontrar uma função linear da forma que melhor aproxima nesse intervalo usando o método dos mínimos quadrados. Esse método ajuda a encontrar os coeficientes e que minimizam o erro entre as duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método dos mínimos quadrados. Basicamente, a gente quer minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre e a nossa função linear no intervalo . Matematicamente, isso é representado pela integral:

Passo 3

Para minimizar essa integral, precisamos calcular as derivadas parciais em relação a e e igualá-las a zero. Isso nos dá um sistema de equações que podemos resolver para encontrar e .

Passo 4

Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Para simplificar, precisamos calcular algumas integrais básicas:

Passo 5

Calculando essas integrais:

Passo 6

Agora, montamos o sistema de equações a partir das derivadas:
Substituindo os valores das integrais:

Passo 7

Calculando as integrais do lado direito:
Primeira integral:
Segunda integral:

Passo 8

Agora, nosso sistema fica:
Vamos multiplicar a segunda equação por 2 para facilitar:

Passo 9

Subtraindo a primeira equação da segunda:

Passo 10

Agora que temos , substituímos na primeira equação:

Resposta

A função linear que aproxima no intervalo pelo método dos mínimos quadrados é:

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Apresentados os dados da tabela:
1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6
4,39 4,99 5,67 6,44 7,32 8,31 9,44 10,72 12,17 13,81
Construa a aproximação de mínimo quadrado de forma .
Resolva o sistema utilizando o método iterativo de Gauss-Jacobi considerando as condições iniciais: .
Complete a tabela:
Utilizando o método de Newton, obtenha o polinômio interpolador e estime o erro cometido:
Apresentados os dados da tabela:
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
6,5 11,5 16,5 21,5 26,5 31,5 36,5 41,5 46,5 51,5
Construa o polinômio de mínimo quadrado de grau 1.