Utilizando o método de Newton, obtenha o polinômio interpolador P2(x) e estime o erro cometido:
x=[1 ; 1.1 ; 1.3 ; 1.4] ; y=[3 ; 3.1 ; 3.26 ; 3.34]

Passo 1

Então, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de pontos dados pelas coordenadas x = [1; 1.1; 1.3; 1.4] e y = [3; 3.1; 3.26; 3.34]. A tarefa é usar o método de Newton para encontrar o polinômio interpolador de segundo grau, P2(x), que melhor aproxima esses pontos. Além disso, precisamos estimar o erro cometido nessa aproximação.
Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o método de Newton para interpolação polinomial e utilizar as diferenças divididas para construir nosso polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar nossos dados em uma tabela de diferenças divididas. Isso nos ajudará a calcular os coeficientes do polinômio de Newton.
x y f[xi, xi+1] f[xi, xi+1, xi+2]
1.0 3.00
1.1 3.10
1.3 3.26
1.4 3.34

Passo 3

Vamos calcular as primeiras diferenças divididas, que são as inclinações das retas entre os pontos:
f[xi, xi+1] = f(xi+1) - f(xi)xi+1 - xi
Calculando cada uma:
  1. Entre x=1.0 e x=1.1:
    f[1.0, 1.1] = 3.10 - 3.001.1 - 1.0 = 0.100.1 = 1.0
  2. Entre x=1.1 e x=1.3:
    f[1.1, 1.3] = 3.26 - 3.101.3 - 1.1 = 0.160.2 = 0.8
  3. Entre x=1.3 e x=1.4:
    f[1.3, 1.4] = 3.34 - 3.261.4 - 1.3 = 0.080.1 = 0.8
Agora, vamos preencher a tabela com essas diferenças:
x y f[xi, xi+1]
1.0 3.00 1.0
1.1 3.10 0.8
1.3 3.26 0.8
1.4 3.34

Passo 4

Agora, vamos calcular as diferenças divididas de segunda ordem:
f[xi, xi+1, xi+2] = f[xi+1, xi+2] - f[xi, xi+1]xi+2 - xi
Só temos duas diferenças divididas de segunda ordem possíveis aqui:
  1. Entre x=1.0, x=1.1 e x=1.3:
    f[1.0, 1.1, 1.3] = 0.8 - 1.01.3 - 1.0 = -0.20.3 approx -0.6667
  2. Entre x=1.1, x=1.3 e x=1.4:
    f[1.1, 1.3, 1.4] = 0.8 - 0.81.4 - 1.1 = 00.3 = 0
Atualizando a tabela:
x y f[xi, xi+1] f[xi, xi+1, xi+2]
1.0 3.00 1.0 -0.6667
1.1 3.10 0.8 0
1.3 3.26 0.8
1.4 3.34

Passo 5

Com as diferenças divididas calculadas, podemos construir o polinômio interpolador de Newton de segundo grau:
P2(x) = f[x0] + f[x0, x1](x - x0) + f[x0, x1, x2](x - x0)(x - x1)
Substituindo os valores que temos:
  • f[x0] = f[1.0] = 3.00
  • f[x0, x1] = 1.0
  • f[x0, x1, x2] = -0.6667
Então:
P2(x) = 3.00 + 1.0(x - 1.0) - 0.6667(x - 1.0)(x - 1.1)
Vamos simplificar esse polinômio:
Primeiro, expandindo o segundo termo:
P2(x) = 3.00 + 1.0(x - 1.0) - 0.6667(x - 1.0)(x - 1.1)
Simplificando:
P2(x) = 3.00 + x - 1.0 - 0.6667(x^2 - 2.1x + 1.1)
Distribuindo o -0.6667:
P2(x) = 2.00 + x - 0.6667x^2 + 1.4x - 0.7334
Somando os termos semelhantes:
P2(x) = -0.6667x^2 + (1 + 1.4)x + (2.00 - 0.7334)
P2(x) = -0.6667x^2 + 2.4x + 1.2666

Passo 6

Agora que temos o polinômio interpolador P2(x), vamos resumir:
P2(x) = -0.6667x^2 + 2.4x + 1.2666
Esse polinômio de segundo grau aproxima os valores de y para os valores de x fornecidos.

Passo 7

Para estimar o erro cometido ao usar esse polinômio, podemos usar a fórmula do erro para polinômios de interpolação:
E(x) = f^(n+1)(xi)(n+1)! prodi=0^n(x - xi)
Onde:
  • n é o grau do polinômio (no caso, n=2)
  • xi está entre o menor e o maior valor de x
  • f^(n+1)(xi) é a (n+1)-ésima derivada da função verdadeira no ponto xi
Como não temos a função original, vamos considerar que o erro é pequeno devido ao ajuste dos pontos próximos. Além disso, observando os valores de y, vemos que a aproximação está bastante próxima dos dados fornecidos.

Resposta

O polinômio interpolador de segundo grau usando o método de Newton é:
P2(x) = -0.6667x^2 + 2.4x + 1.2666
A estimativa do erro cometido ao utilizar esse polinômio é mínima, já que os pontos fornecidos estão bem aproximados pelo polinômio construído.

Exercícios relacionados