Utilizando o método de Newton, obtenha o polinômio interpolador e estime o erro cometido:

Passo 1

Então, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de pontos dados pelas coordenadas e . A tarefa é usar o método de Newton para encontrar o polinômio interpolador de segundo grau, , que melhor aproxima esses pontos. Além disso, precisamos estimar o erro cometido nessa aproximação.
Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o método de Newton para interpolação polinomial e utilizar as diferenças divididas para construir nosso polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar nossos dados em uma tabela de diferenças divididas. Isso nos ajudará a calcular os coeficientes do polinômio de Newton.
1.0 3.00
1.1 3.10
1.3 3.26
1.4 3.34

Passo 3

Vamos calcular as primeiras diferenças divididas, que são as inclinações das retas entre os pontos:
Calculando cada uma:
  1. Entre e :
  2. Entre e :
  3. Entre e :
Agora, vamos preencher a tabela com essas diferenças:
1.0 3.00 1.0
1.1 3.10 0.8
1.3 3.26 0.8
1.4 3.34

Passo 4

Agora, vamos calcular as diferenças divididas de segunda ordem:
Só temos duas diferenças divididas de segunda ordem possíveis aqui:
  1. Entre , e :
  2. Entre , e :
Atualizando a tabela:
1.0 3.00 1.0 -0.6667
1.1 3.10 0.8 0
1.3 3.26 0.8
1.4 3.34

Passo 5

Com as diferenças divididas calculadas, podemos construir o polinômio interpolador de Newton de segundo grau:
Substituindo os valores que temos:
Então:
Vamos simplificar esse polinômio:
Primeiro, expandindo o segundo termo:
Simplificando:
Distribuindo o :
Somando os termos semelhantes:

Passo 6

Agora que temos o polinômio interpolador , vamos resumir:
Esse polinômio de segundo grau aproxima os valores de para os valores de fornecidos.

Passo 7

Para estimar o erro cometido ao usar esse polinômio, podemos usar a fórmula do erro para polinômios de interpolação:
Onde:
  • é o grau do polinômio (no caso, )
  • está entre o menor e o maior valor de
  • é a -ésima derivada da função verdadeira no ponto
Como não temos a função original, vamos considerar que o erro é pequeno devido ao ajuste dos pontos próximos. Além disso, observando os valores de , vemos que a aproximação está bastante próxima dos dados fornecidos.

Resposta

O polinômio interpolador de segundo grau usando o método de Newton é:
A estimativa do erro cometido ao utilizar esse polinômio é mínima, já que os pontos fornecidos estão bem aproximados pelo polinômio construído.

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Aproxime a função abaixo por uma função linear utilizando o método dos mínimos quadrados.
Apresentados os dados da tabela:
1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6
4,39 4,99 5,67 6,44 7,32 8,31 9,44 10,72 12,17 13,81
Construa a aproximação de mínimo quadrado de forma .
Apresentados os dados da tabela:
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
6,5 11,5 16,5 21,5 26,5 31,5 36,5 41,5 46,5 51,5
Construa o polinômio de mínimo quadrado de grau 1.
Resolva o sistema linear utilizando o método iterativo Gauss-Seidel. .

Complete a tabela: