Utilizando o método de Newton, obtenha o polinômio interpolador
e estime o erro cometido:
Passo 1
Então, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de pontos dados pelas coordenadas
e
. A tarefa é usar o método de Newton para encontrar o polinômio interpolador de segundo grau,
, que melhor aproxima esses pontos. Além disso, precisamos estimar o erro cometido nessa aproximação.
Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o método de Newton para interpolação polinomial e utilizar as diferenças divididas para construir nosso polinômio.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar nossos dados em uma tabela de diferenças divididas. Isso nos ajudará a calcular os coeficientes do polinômio de Newton.
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---|---|---|---|
1.0 | 3.00 | ||
1.1 | 3.10 | ||
1.3 | 3.26 | ||
1.4 | 3.34 |
Passo 3
Vamos calcular as primeiras diferenças divididas, que são as inclinações das retas entre os pontos:
Calculando cada uma:
-
Entre
e : -
Entre
e : -
Entre
e :
Agora, vamos preencher a tabela com essas diferenças:
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---|---|---|
1.0 | 3.00 | 1.0 |
1.1 | 3.10 | 0.8 |
1.3 | 3.26 | 0.8 |
1.4 | 3.34 |
Passo 4
Agora, vamos calcular as diferenças divididas de segunda ordem:
Só temos duas diferenças divididas de segunda ordem possíveis aqui:
-
Entre
, e : -
Entre
, e :
Atualizando a tabela:
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---|---|---|---|
1.0 | 3.00 | 1.0 | -0.6667 |
1.1 | 3.10 | 0.8 | 0 |
1.3 | 3.26 | 0.8 | |
1.4 | 3.34 |
Passo 5
Com as diferenças divididas calculadas, podemos construir o polinômio interpolador de Newton de segundo grau:
Substituindo os valores que temos:
Então:
Vamos simplificar esse polinômio:
Primeiro, expandindo o segundo termo:
Simplificando:
Distribuindo o
:
Somando os termos semelhantes:
Passo 6
Agora que temos o polinômio interpolador
, vamos resumir:
Esse polinômio de segundo grau aproxima os valores de
para os valores de
fornecidos.
Passo 7
Para estimar o erro cometido ao usar esse polinômio, podemos usar a fórmula do erro para polinômios de interpolação:
Onde:
-
é o grau do polinômio (no caso, ) -
está entre o menor e o maior valor de -
é a -ésima derivada da função verdadeira no ponto
Como não temos a função original, vamos considerar que o erro é pequeno devido ao ajuste dos pontos próximos. Além disso, observando os valores de
, vemos que a aproximação está bastante próxima dos dados fornecidos.
Resposta
O polinômio interpolador de segundo grau usando o método de Newton é:
A estimativa do erro cometido ao utilizar esse polinômio é mínima, já que os pontos fornecidos estão bem aproximados pelo polinômio construído.
Exercícios relacionados
Aproxime a função abaixo por uma função linear
utilizando o método dos mínimos quadrados.
Apresentados os dados da tabela:
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1,5 | 2 | 2,5 | 3 | 3,5 | 4 | 4,5 | 5 | 5,5 | 6 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
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4,39 | 4,99 | 5,67 | 6,44 | 7,32 | 8,31 | 9,44 | 10,72 | 12,17 | 13,81 |
Construa a aproximação de mínimo quadrado de forma
.
Apresentados os dados da tabela:
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1 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 | 17 | 19 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
6,5 | 11,5 | 16,5 | 21,5 | 26,5 | 31,5 | 36,5 | 41,5 | 46,5 | 51,5 |
Construa o polinômio de mínimo quadrado de grau 1.
Resolva o sistema linear utilizando o método iterativo Gauss-Seidel.
.
Complete a tabela:
Complete a tabela:
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