Apresentados os dados da tabela:
x 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6
f(x) 4,39 4,99 5,67 6,44 7,32 8,31 9,44 10,72 12,17 13,81
Construa a aproximação de mínimo quadrado de forma y=ae^bx.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com valores de e e precisa encontrar a melhor aproximação da forma usando o método dos mínimos quadrados. Basicamente, queremos ajustar uma curva exponencial que passe o mais próximo possível dos pontos que a gente tem na tabela.

Passo 2

Primeiro, pra facilitar, vamos transformar a equação ln y = ln a + bx em uma forma que a gente possa usar métodos de regressão linear. Tirando o logaritmo natural dos dois lados, fica:
Isso transforma a nossa equação em uma linha reta , onde é a inclinação e é o intercepto.

Passo 3

Agora, vamos calcular o logaritmo natural de cada valor de |c|c|c| hline x & f(x) & ln f(x) hline 1,5 & 4,39 & approx 1,48 2 & 4,99 & approx 1,61 2,5 & 5,67 & approx 1,74 3 & 6,44 & approx 1,86 3,5 & 7,32 & approx 1,99 4 & 8,31 & approx 2,12 4,5 & 9,44 & approx 2,25 5 & 10,72 & approx 2,37 5,5 & 12,17 & approx 2,50 6 & 13,81 & approx 2,63 hline na tabela:

Passo 4

Com esses valores, vamos precisar calcular algumas somas para aplicar a fórmula da regressão linear:
sum x &= 1,5 + 2 + 2,5 + 3 + 3,5 + 4 + 4,5 + 5 + 5,5 + 6 = 36 sum ln f(x) &approx 1,48 + 1,61 + 1,74 + 1,86 + 1,99 + 2,12 + 2,25 + 2,37 + 2,50 + 2,63 = 20,55 sum x ln f(x) &approx (1,5 times 1,48) + (2 times 1,61) + ldots + (6 times 2,63) = 82,33 sum x^2 &= 1,5^2 + 2^2 + 2,5^2 + ldots + 6^2 = 161,25 n &= 10 (número de pontos) ú

Passo 5

Agora, vamos usar as fórmulas da regressão linear para encontrar b = n sum (x ln y) - sum x sum ln yn sum x^2 - (sum x)^2 e ln a = sum ln y - b sum xn :
b = 10 times 82,33 - 36 times 20,5510 times 161,25 - 36^2 = 823,3 - 739,81612,5 - 1296 = 83,5316,5 approx 0,264
ln a = 20,55 - 0,264 times 3610 = 20,55 - 9,50410 = 11,04610 approx 1,1046
Substituindo os valores que calculamos:

Passo 6

Agora que temos a = e^ln a = e^1,1046 approx 3,018 , vamos encontrar exponenciando ambos os lados:

Resposta

A aproximação de mínimos quadrados da forma y approx 3,02 , e^0,264,x é:

Exercícios relacionados