Resolva o sistema utilizando o método iterativo de Gauss-Jacobi considerando as condições iniciais: x1(0)=x2(0)=x3(0)=0.
l 2 x1-10 x2+4 x3=8 x1+3 x2+8 x3=1 5 x1+x2+x3=2
Complete a tabela:
x1^0=0 x2^0=0 x3^0=0 alpha1=
x1^1= x2^1= x3^1= alpha2=
x1^2= x2^2= x3^2= alpha3=
x1^3= x2^3= x3^3=

Passo 1

Então, vamos resolver esse sistema de equações usando o método iterativo de Gauss-Jacobi. A matéria que estamos lidando aqui é de Álgebra Linear, mais especificamente métodos numéricos para resolver sistemas lineares. Para isso, vamos precisar isolar cada variável em cada equação e fazer iterações começando das condições iniciais dadas: x1^0=0, x2^0=0, x3^0=0.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever cada equação para isolar x1, x2 e x3 respectivamente:
  1. Da primeira equação: 2x1 -10x2 +4x3=8
    Isolando x1:
x1 = 8 +10x2 -4x32 = 4 +5x2 -2x3
  1. Da segunda equação: x1+3x2+8x3=1
    Isolando x2:
x2 = 1 -x1 -8x33
  1. Da terceira equação: 5x1+x2+x3=2
    Isolando x3:
x3 = 2 -5x1 -x2

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método de Gauss-Jacobi. Esse método utiliza os valores das iterações anteriores para calcular os novos valores das variáveis. Vamos preencher a tabela para três iterações ( k=1,2,3).
Iteração 1 ( k=1):
x1^1 &= 4 +5x2^0 -2x3^0 = 4 +5(0) -2(0) = 4 x2^1 &= 1 -x1^0 -8x3^03 = 1 -0 -8(0)3 = 13 x3^1 &= 2 -5x1^0 -x2^0 = 2 -5(0) -0 = 2
Calculamos alpha1, que pode representar o erro relativo ou absoluto. Para simplificar, vamos considerar a diferença entre as iterações:
alpha1 = raiz(x1^1-x1^0)^2 + (x2^1-x2^0)^2 + (x3^1-x3^0)^2 = raiz4^2 + (13)^2 +2^2 approx 4.192

Passo 4

Iteração 2 ( k=2):
x1^2 &= 4 +5x2^1 -2x3^1 = 4 +5(13) -2(2) = 4 +53 -4 = 53 x2^2 &= 1 -x1^1 -8x3^13 = 1 -4 -8(2)3 = 1 -4 -163 = -193 x3^2 &= 2 -5x1^1 -x2^1 = 2 -5(4) -13 = 2 -20 -13 = -1813
Calculamos alpha2:
alpha2 = raiz(53-4)^2 + (-193-13)^2 + (-1813-2)^2 approx 18.488

Passo 5

Iteração 3 ( k=3):
x1^3 &= 4 +5x2^2 -2x3^2 = 4 +5(-193) -2(-1813) = 4 -953 +3623 = 4 -31.666 +36.666 = 9 x2^3 &= 1 -x1^2 -8x3^23 = 1 -53 -8(-1813)3 = 1 -1.666 +146.6663 = 1463 approx 48.666 x3^3 &= 2 -5x1^2 -x2^2 = 2 -5(53) --193 = 2 -253 +193 = 2 -63 = 0
Calculamos alpha3:
alpha3 = raiz(9 - 53)^2 + (48.666 - -193)^2 + (0 - (-1813))^2 approx 49.272

Resposta

x1^0=0 x2^0=0 x3^0=0 alpha1 approx 4.192
x1^1=4 x2^1=13 x3^1=2 alpha2 approx 18.488
x1^2=53 x2^2=-193 x3^2=-1813 alpha3 approx 49.272
x1^3=9 x2^3=48.666 x3^3=0

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