Utilizando o método de Lagrange, obtenha o polinômio interpolador para a seguinte função:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma função com três pontos:
e
. Nosso objetivo é encontrar o polinômio interpolador usando o Método de Lagrange. Para isso, vamos precisar entender como construir o polinômio que passa exatamente por esses três pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos falar um pouco sobre o Método de Lagrange. Esse método nos ajuda a encontrar um polinômio que passa por um conjunto de pontos dados. A ideia é construir polinômios menores, chamados de polinômios de base de Lagrange (
), que valem 1 em um ponto específico e 0 nos outros. Depois, combinamos esses polinômios com os valores de
para formar o polinômio final.
A fórmula geral do polinômio interpolador de Lagrange é:
Onde cada
é dado por:
Passo 3
Vamos calcular cada polinômio de base
para os nossos pontos.
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora que temos os polinômios de base, vamos montar o polinômio interpolador
:
Substituindo os valores de
:
Vamos substituir cada
que calculamos:
Passo 5
Vamos simplificar cada termo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Agora, somando todos os termos:
Resposta
O polinômio interpolador de Lagrange para os pontos dados é: