Utilizando o método de Lagrange, obtenha o polinômio interpolador para a seguinte função:
x=[0.1 ; 0.3 ; 0.6] ; y=[0.32 ; 0.87 ; 1.76]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma função com três pontos: e . Nosso objetivo é encontrar o polinômio interpolador usando o Método de Lagrange. Para isso, vamos precisar entender como construir o polinômio que passa exatamente por esses três pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos falar um pouco sobre o Método de Lagrange. Esse método nos ajuda a encontrar um polinômio que passa por um conjunto de pontos dados. A ideia é construir polinômios menores, chamados de polinômios de base de Lagrange ( P(x) = sumi=0^n yi cdot Li(x) ), que valem 1 em um ponto específico e 0 nos outros. Depois, combinamos esses polinômios com os valores de Li(x) = prodsubstackj=0 j neq i^n x - xjxi - xj para formar o polinômio final.
A fórmula geral do polinômio interpolador de Lagrange é:
Onde cada é dado por:

Passo 3

Vamos calcular cada polinômio de base L0(x) = (x - x1)(x - x2)(x0 - x1)(x0 - x2) = (x - 0.3)(x - 0.6)(0.1 - 0.3)(0.1 - 0.6) = (x - 0.3)(x - 0.6)(-0.2)(-0.5) = (x - 0.3)(x - 0.6)0.1 para os nossos pontos.
Para L1(x) = (x - x0)(x - x2)(x1 - x0)(x1 - x2) = (x - 0.1)(x - 0.6)(0.3 - 0.1)(0.3 - 0.6) = (x - 0.1)(x - 0.6)(0.2)(-0.3) = (x - 0.1)(x - 0.6)-0.06 :
L2(x) = (x - x0)(x - x1)(x2 - x0)(x2 - x1) = (x - 0.1)(x - 0.3)(0.6 - 0.1)(0.6 - 0.3) = (x - 0.1)(x - 0.3)(0.5)(0.3) = (x - 0.1)(x - 0.3)0.15
Para :
Para :

Passo 4

Agora que temos os polinômios de base, vamos montar o polinômio interpolador P(x) = y0 cdot L0(x) + y1 cdot L1(x) + y2 cdot L2(x) :
P(x) = 0.32 cdot L0(x) + 0.87 cdot L1(x) + 1.76 cdot L2(x)
Substituindo os valores de P(x) = 0.32 cdot (x - 0.3)(x - 0.6)0.1 + 0.87 cdot (x - 0.1)(x - 0.6)-0.06 + 1.76 cdot (x - 0.1)(x - 0.3)0.15 :
Vamos substituir cada que calculamos:

Passo 5

Vamos simplificar cada termo:
Primeiro termo:
0.32 cdot (x - 0.3)(x - 0.6)0.1 = 3.2 cdot (x^2 - 0.9x + 0.18)
= 3.2x^2 - 2.88x + 0.576
Segundo termo:
0.87 cdot (x - 0.1)(x - 0.6)-0.06 = -14.5 cdot (x^2 - 0.7x + 0.06)
= -14.5x^2 + 10.15x - 0.87
Terceiro termo:
1.76 cdot (x - 0.1)(x - 0.3)0.15 = 11.73 cdot (x^2 - 0.4x + 0.03)
= 11.73x^2 - 4.692x + 0.3519
Agora, somando todos os termos:
P(x) = (3.2x^2 - 2.88x + 0.576) + (-14.5x^2 + 10.15x - 0.87) + (11.73x^2 - 4.692x + 0.3519)
P(x) = (3.2 - 14.5 + 11.73)x^2 + (-2.88 + 10.15 - 4.692)x + (0.576 - 0.87 + 0.3519)
P(x) = (0.43)x^2 + (2.58)x + (0.0579)

Resposta

O polinômio interpolador de Lagrange para os pontos dados é:
P(x) = 0.43x^2 + 2.58x + 0.0579

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