Apresente a fórmula de iteração para o método de Taylor de ordem 2 aplicado ao PVI abaixo:
sendo ;
Calcule um limitante superior para o erro do método obtido em (a).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial (PVI) que é basicamente uma equação diferencial com uma condição inicial. A equação é:
O objetivo aqui é usar o método de Taylor de ordem 2 para resolver essa equação com um passo ( ) de 0.1. Além disso, precisamos calcular um limitante superior para o erro desse método. Para isso, vamos precisar entender como funciona o método de Taylor e como aplicá-lo passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o método de Taylor de ordem 2. Esse método estima o valor da função no próximo ponto usando uma expansão de Taylor até a segunda derivada. A fórmula geral é:
Aqui, é o valor atual da função, é o passo, é a primeira derivada no ponto atual, e é a segunda derivada no ponto atual.

Passo 3

Para aplicar essa fórmula ao nosso PVI, precisamos encontrar e . Vamos começar com .
Dada a equação , podemos resolver para :
Então, , onde .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a segunda derivada . Para isso, diferenciamos em relação a :
Já sabemos que , então substituindo:
Portanto, .

Passo 5

Com e em mãos, podemos montar a fórmula de iteração do método de Taylor de ordem 2:
Substituindo e :

Passo 6

Simplificando a expressão:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:

Passo 7

Agora, substituímos o valor de na fórmula:
Calculando cada parcela:
Então, a fórmula final fica:

Resposta

A fórmula de iteração para o método de Taylor de ordem 2 aplicado ao PVI dado, com passo , é:
Além disso, o limitante superior para o erro deste método é proporcional a , ou seja, . Com , temos que o erro é limitado por:
onde é uma constante que depende da função e suas derivadas no intervalo considerado.

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