Apresente a fórmula de iteração para o método de Taylor de ordem 2 aplicado ao PVI abaixo:
sendo
;
Calcule um limitante superior para o erro do método obtido em (a).
Calcule um limitante superior para o erro do método obtido em (a).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial (PVI) que é basicamente uma equação diferencial com uma condição inicial. A equação é:
O objetivo aqui é usar o método de Taylor de ordem 2 para resolver essa equação com um passo (
) de 0.1. Além disso, precisamos calcular um limitante superior para o erro desse método. Para isso, vamos precisar entender como funciona o método de Taylor e como aplicá-lo passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o método de Taylor de ordem 2. Esse método estima o valor da função
no próximo ponto usando uma expansão de Taylor até a segunda derivada. A fórmula geral é:
Aqui,
é o valor atual da função,
é o passo,
é a primeira derivada no ponto atual, e
é a segunda derivada no ponto atual.
Passo 3
Para aplicar essa fórmula ao nosso PVI, precisamos encontrar
e
. Vamos começar com
.
Dada a equação
, podemos resolver para
:
Então,
, onde
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
. Para isso, diferenciamos
em relação a
:
Já sabemos que
, então substituindo:
Portanto,
.
Passo 5
Com
e
em mãos, podemos montar a fórmula de iteração do método de Taylor de ordem 2:
Substituindo
e
:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Passo 7
Agora, substituímos o valor de
na fórmula:
Calculando cada parcela:
Então, a fórmula final fica:
Resposta
A fórmula de iteração para o método de Taylor de ordem 2 aplicado ao PVI dado, com passo
, é:
Além disso, o limitante superior para o erro deste método é proporcional a
, ou seja,
. Com
, temos que o erro é limitado por:
onde
é uma constante que depende da função e suas derivadas no intervalo considerado.
Exercícios relacionados
Considere o PVI
Comparando com a solução exata do problema, você esperaria que o erro tivese sempre o mesmo sinal? Justifique.
Reduza
a um sistema de três equações de
ordem.
Como fica o método de Euler para esta equação?
Como fica o método de Euler para esta equação?
Considere o PVI
Repita o item (a), usando agora o método de Euler Aperfeiçoado.
Considere o PVI
Usando um método de inicialização adequado, aplique os seguintes métodos para computar aproximações para
:
a) Método de Adams-Bashforth de 2 passos.
Em cada caso, verifque se seus resultados satisfazem a ordem esperado do erro de truncamento local.
a) Método de Adams-Bashforth de 2 passos.
Em cada caso, verifque se seus resultados satisfazem a ordem esperado do erro de truncamento local.