Apresente a fórmula de iteração para o método de Taylor de ordem 2 aplicado ao PVI abaixo:
l y^prime+y=x y(0)=0
sendo h=0.1;
Calcule um limitante superior para o erro do método obtido em (a).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial (PVI) que é basicamente uma equação diferencial com uma condição inicial. A equação é:
l y^prime + y = x y(0) = 0
O objetivo aqui é usar o método de Taylor de ordem 2 para resolver essa equação com um passo ( h) de 0.1. Além disso, precisamos calcular um limitante superior para o erro desse método. Para isso, vamos precisar entender como funciona o método de Taylor e como aplicá-lo passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o método de Taylor de ordem 2. Esse método estima o valor da função y no próximo ponto usando uma expansão de Taylor até a segunda derivada. A fórmula geral é:
yn+1 = yn + h y'n + h^22 y''n
Aqui, yn é o valor atual da função, h é o passo, y'n é a primeira derivada no ponto atual, e y''n é a segunda derivada no ponto atual.

Passo 3

Para aplicar essa fórmula ao nosso PVI, precisamos encontrar y'n e y''n. Vamos começar com y'n.
Dada a equação y' + y = x, podemos resolver para y':
y' = x - y
Então, y'n = xn - yn, onde xn = nh.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a segunda derivada y''n. Para isso, diferenciamos y' em relação a x:
y'' = ddx(y') = ddx(x - y) = 1 - y'
Já sabemos que y' = x - y, então substituindo:
y'' = 1 - (x - y) = 1 - x + y
Portanto, y''n = 1 - xn + yn.

Passo 5

Com y'n e y''n em mãos, podemos montar a fórmula de iteração do método de Taylor de ordem 2:
yn+1 = yn + h(y'n) + h^22(y''n)
Substituindo y'n e y''n:
yn+1 = yn + h(xn - yn) + h^22(1 - xn + yn)

Passo 6

Simplificando a expressão:
yn+1 = yn + h xn - h yn + h^22 - h^22xn + h^22yn
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
yn+1 = yn(1 - h + h^22) + xn(h - h^22) + h^22

Passo 7

Agora, substituímos o valor de h = 0.1 na fórmula:
yn+1 = yn(1 - 0.1 + (0.1)^22) + xn(0.1 - (0.1)^22) + (0.1)^22
Calculando cada parcela:
1 - 0.1 + 0.012 = 0.9 + 0.005 = 0.905
0.1 - 0.012 = 0.1 - 0.005 = 0.095
0.012 = 0.005
Então, a fórmula final fica:
yn+1 = 0.905, yn + 0.095, xn + 0.005

Resposta

A fórmula de iteração para o método de Taylor de ordem 2 aplicado ao PVI dado, com passo h = 0.1, é:
yn+1 = 0.905, yn + 0.095, xn + 0.005
Além disso, o limitante superior para o erro deste método é proporcional a h^3, ou seja, O(h^3). Com h = 0.1, temos que o erro é limitado por:
Erro <= C times (0.1)^3 = C times 0.001
onde C é uma constante que depende da função e suas derivadas no intervalo considerado.

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