Considere o PVI
Usando um método de inicialização adequado, aplique os seguintes métodos para computar aproximações para
:
a) Método de Adams-Bashforth de 2 passos.
Em cada caso, verifque se seus resultados satisfazem a ordem esperado do erro de truncamento local.
a) Método de Adams-Bashforth de 2 passos.
Em cada caso, verifque se seus resultados satisfazem a ordem esperado do erro de truncamento local.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. A gente tem a equação
com a condição inicial
no intervalo
. A matéria que vamos usar aqui é o método de Adams-Bashforth de 2 passos, que é um método numérico para aproximar soluções de equações diferenciais. Para isso, vamos precisar calcular alguns valores iniciais e aplicar a fórmula do método para encontrar uma aproximação para
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para deixar claro o que estamos lidando. A equação
pode ser rearranjada para:
Isso facilita a aplicação dos métodos numéricos. Agora, o método de Adams-Bashforth de 2 passos precisa de dois valores iniciais para começar a iteração:
e
.
Passo 3
Já temos
. Para encontrar
(que é
com
sendo o passo), podemos usar o método de Euler, que é um método mais simples e serve para gerar valores iniciais.
A fórmula do método de Euler é:
Onde
.
Vamos escolher um passo
para simplificar, já que queremos chegar até
em dois passos.
Passo 4
Calculando
usando o método de Euler:
Substituindo os valores:
Sabemos que
, então:
Então,
.
Passo 5
Agora que temos
e
, podemos aplicar o método de Adams-Bashforth de 2 passos. A fórmula geral desse método é:
Vamos aplicar isso para encontrar
, que será
.
Passo 6
Calculando os valores de
:
Sabendo que
é aproximadamente 0.87758256189, temos:
Passo 7
Agora aplicamos a fórmula do Adams-Bashforth:
Calculando dentro dos parênteses:
Multiplicando pelo fator:
Finalmente:
Resposta
A aproximação para
usando o método de Adams-Bashforth de 2 passos é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Considere o PVI
Repita o item (a), usando agora o método de Euler Aperfeiçoado.
Apresente a fórmula de iteração para o método de Taylor de ordem 2 aplicado ao PVI abaixo:
sendo
;
Calcule um limitante superior para o erro do método obtido em (a).
Calcule um limitante superior para o erro do método obtido em (a).
Considere o PVI
Mostre que o método de Euler Aperfeiçoado, quando aplicado a esta equação fornece:
Considere o PVI
Usando um método de inicialização adequado, aplique os seguintes métodos para computar aproximações para
:
b) Método de Adams-Bashforth de 4 passos.
Em cada caso, verifque se seus resultados satisfazem a ordem esperado do erro de truncamento local.
b) Método de Adams-Bashforth de 4 passos.
Em cada caso, verifque se seus resultados satisfazem a ordem esperado do erro de truncamento local.