Considere o PVI
& y^prime+cos (t)=y, 0
Usando um método de inicialização adequado, aplique os seguintes métodos para computar aproximações para y(1) :
a) Método de Adams-Bashforth de 2 passos.
Em cada caso, verifque se seus resultados satisfazem a ordem esperado do erro de truncamento local.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. A gente tem a equação com a condição inicial no intervalo . A matéria que vamos usar aqui é o método de Adams-Bashforth de 2 passos, que é um método numérico para aproximar soluções de equações diferenciais. Para isso, vamos precisar calcular alguns valores iniciais e aplicar a fórmula do método para encontrar uma aproximação para .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para deixar claro o que estamos lidando. A equação y' = y - cos(t) pode ser rearranjada para:
Isso facilita a aplicação dos métodos numéricos. Agora, o método de Adams-Bashforth de 2 passos precisa de dois valores iniciais para começar a iteração: e .

Passo 3

Já temos yn+1 = yn + h cdot f(tn, yn) . Para encontrar (que é com sendo o passo), podemos usar o método de Euler, que é um método mais simples e serve para gerar valores iniciais.
A fórmula do método de Euler é:
Onde .
Vamos escolher um passo para simplificar, já que queremos chegar até em dois passos.

Passo 4

Calculando y1 = y0 + h cdot f(t0, y0) usando o método de Euler:
y1 = 12 + 0.5 cdot ( 12 - cos(0) )
Substituindo os valores:
y1 = 12 + 0.5 cdot ( 12 - 1 ) = 12 + 0.5 cdot (-12) = 12 - 14 = 14
Sabemos que , então:
Então, .

Passo 5

Agora que temos yn+1 = yn + h2 ( 3f(tn, yn) - f(tn-1, yn-1) ) e , podemos aplicar o método de Adams-Bashforth de 2 passos. A fórmula geral desse método é:
Vamos aplicar isso para encontrar , que será .

Passo 6

Calculando os valores de f(t1, y1) = y1 - cos(t1) = 14 - cos(0.5) :
f(t0, y0) = y0 - cos(t0) = 12 - cos(0) = 12 - 1 = -12
f(t1, y1) = 14 - 0.87758256189 approx -0.62758256189
Sabendo que é aproximadamente 0.87758256189, temos:

Passo 7

Agora aplicamos a fórmula do Adams-Bashforth:
y2 = y1 + 0.52 ( 3 cdot (-0.62758256189) - (-12) )
Calculando dentro dos parênteses:
3 cdot (-0.62758256189) - (-0.5) = -1.88274768567 + 0.5 = -1.38274768567
Multiplicando pelo fator:
0.52 cdot (-1.38274768567) = 0.25 cdot (-1.38274768567) approx -0.34568692142
Finalmente:
y2 = 14 + (-0.34568692142) approx -0.09568692142

Resposta

A aproximação para usando o método de Adams-Bashforth de 2 passos é aproximadamente .

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