Considere o PVI
Usando um método de inicialização adequado, aplique os seguintes métodos para computar aproximações para :
a) Método de Adams-Bashforth de 2 passos.
Em cada caso, verifque se seus resultados satisfazem a ordem esperado do erro de truncamento local.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. A gente tem a equação com a condição inicial no intervalo . A matéria que vamos usar aqui é o método de Adams-Bashforth de 2 passos, que é um método numérico para aproximar soluções de equações diferenciais. Para isso, vamos precisar calcular alguns valores iniciais e aplicar a fórmula do método para encontrar uma aproximação para .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para deixar claro o que estamos lidando. A equação pode ser rearranjada para:
Isso facilita a aplicação dos métodos numéricos. Agora, o método de Adams-Bashforth de 2 passos precisa de dois valores iniciais para começar a iteração: e .

Passo 3

Já temos . Para encontrar (que é com sendo o passo), podemos usar o método de Euler, que é um método mais simples e serve para gerar valores iniciais.
A fórmula do método de Euler é:
Onde .
Vamos escolher um passo para simplificar, já que queremos chegar até em dois passos.

Passo 4

Calculando usando o método de Euler:
Substituindo os valores:
Sabemos que , então:
Então, .

Passo 5

Agora que temos e , podemos aplicar o método de Adams-Bashforth de 2 passos. A fórmula geral desse método é:
Vamos aplicar isso para encontrar , que será .

Passo 6

Calculando os valores de :
Sabendo que é aproximadamente 0.87758256189, temos:

Passo 7

Agora aplicamos a fórmula do Adams-Bashforth:
Calculando dentro dos parênteses:
Multiplicando pelo fator:
Finalmente:

Resposta

A aproximação para usando o método de Adams-Bashforth de 2 passos é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Considere o PVI
Repita o item (a), usando agora o método de Euler Aperfeiçoado.
Apresente a fórmula de iteração para o método de Taylor de ordem 2 aplicado ao PVI abaixo:
sendo ;
Calcule um limitante superior para o erro do método obtido em (a).
Considere o PVI
Mostre que o método de Euler Aperfeiçoado, quando aplicado a esta equação fornece:
Considere o PVI
Usando um método de inicialização adequado, aplique os seguintes métodos para computar aproximações para :
b) Método de Adams-Bashforth de 4 passos.
Em cada caso, verifque se seus resultados satisfazem a ordem esperado do erro de truncamento local.