Considere o PVI
Comparando com a solução exata do problema, você esperaria que o erro tivese sempre o mesmo sinal? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício! A gente tem um Problema de Valor Inicial (PVI) que é basicamente uma equação diferencial com uma condição inicial. A equação é:
Aqui, o conteúdo principal é equações diferenciais e valor inicial. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a solução exata dessa equação e depois comparar com outras soluções para analisar o erro.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial dada. A equação é:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem e tem uma solução conhecida. A ideia é encontrar uma função
cuja derivada é igual a ela mesma.
Passo 3
Sabemos que a função exponencial tem a propriedade de que sua derivada é igual a ela mesma. Então, uma solução geral para
é:
Aqui,
é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.
Passo 4
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Portanto, a soluç��o exata do PVI é:
Passo 5
A pergunta é sobre o erro ao comparar com a solução exata. O erro geralmente ocorre quando usamos métodos numéricos para aproximar a solução. O erro pode ser positivo ou negativo dependendo do método utilizado.
No entanto, para essa equação específica
, se usarmos métodos como o de Euler, o erro tende a ter sempre o mesmo sinal devido à natureza da solução exponencial, que cresce continuamente. Isso significa que o erro não oscila, mas aumenta ou diminui de maneira consistente.
Resposta
Não, o erro não teria sempre o mesmo sinal. Dependendo do método de aproximação usado para resolver o PVI, o erro pode variar em sinal. No entanto, para métodos como o de Euler aplicados a essa equação, o erro tende a ter um sinal consistente devido ao crescimento exponencial da solução exata.
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Reduza
a um sistema de três equações de
ordem.
Como fica o método de Euler para esta equação?
Como fica o método de Euler para esta equação?
A série infinita
converge para um valor
quando
tende ao infinito. Use sua calculadora para calcular
para
, somando os termos de
até
. A seguir, repita os cálculos na ordem inversa - isto é, some de
até
com incrementos de -1 . Em cada caso, compare o resultado com o valor verdadeiro
e calcule o erro relativo percentual. Explique as diferenças nos resultados entre a soma direta e a soma inversa.
Apresente a fórmula de iteração para o método de Taylor de ordem 2 aplicado ao PVI abaixo:
sendo
;
Calcule um limitante superior para o erro do método obtido em (a).
Calcule um limitante superior para o erro do método obtido em (a).
Considere o PVI
Repita o item (a), usando agora o método de Euler Aperfeiçoado.