Considere o PVI
l y^prime=y y(0)=1
Comparando com a solução exata do problema, você esperaria que o erro tivese sempre o mesmo sinal? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício! A gente tem um Problema de Valor Inicial (PVI) que é basicamente uma equação diferencial com uma condição inicial. A equação é:
l y^prime=y y(0)=1
Aqui, o conteúdo principal é equações diferenciais e valor inicial. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a solução exata dessa equação e depois comparar com outras soluções para analisar o erro.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial dada. A equação é:
y^prime = y
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem e tem uma solução conhecida. A ideia é encontrar uma função cuja derivada é igual a ela mesma.

Passo 3

Sabemos que a função exponencial tem a propriedade de que sua derivada é igual a ela mesma. Então, uma solução geral para y(t) = Ce^t é:
Aqui, é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.

Passo 4

Agora, aplicamos a condição inicial y(0) = Ce^0 = C = 1 para encontrar y(t) = e^t :
Portanto, a soluç��o exata do PVI é:

Passo 5

A pergunta é sobre o erro ao comparar com a solução exata. O erro geralmente ocorre quando usamos métodos numéricos para aproximar a solução. O erro pode ser positivo ou negativo dependendo do método utilizado.
No entanto, para essa equação específica , se usarmos métodos como o de Euler, o erro tende a ter sempre o mesmo sinal devido à natureza da solução exponencial, que cresce continuamente. Isso significa que o erro não oscila, mas aumenta ou diminui de maneira consistente.

Resposta

Não, o erro não teria sempre o mesmo sinal. Dependendo do método de aproximação usado para resolver o PVI, o erro pode variar em sinal. No entanto, para métodos como o de Euler aplicados a essa equação, o erro tende a ter um sinal consistente devido ao crescimento exponencial da solução exata.

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