Considere o PVI
l y^prime=(y^2-1) /(x^2+1) y(0)=1
Repita o item (a), usando agora o método de Euler Aperfeiçoado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um Problema de Valor Inicial (PVI) com a equação diferencial e a condição inicial . A matéria aqui é métodos numéricos para resolver equações diferenciais, e vamos usar o Método de Euler Aperfeiçoado para encontrar uma aproximação da solução.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar rapidinho o que é o Método de Euler Aperfeiçoado. Esse método é uma versão mais precisa do Método de Euler simples. Enquanto o Método de Euler simples usa a inclinação no início do intervalo para estimar o próximo valor de y, o Método de Euler Aperfeiçoado calcula uma média das inclinações no início e no final do intervalo. Isso ajuda a melhorar a precisão da nossa aproximação.

Passo 3

Vamos definir o tamanho do passo, que é o quanto a gente vai avançar no eixo x a cada cálculo. Vamos usar para simplificar, ou seja, vamos calcular em .

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira inclinação usando a condição inicial:
k1 = f(x0, y0) = y0^2 - 1x0^2 + 1 = 1^2 - 10^2 + 1 = 01 = 0
Então, .

Passo 5

Em seguida, vamos estimar o valor de yestimado = y0 + h cdot k1 = 1 + 1 cdot 0 = 1 no próximo ponto usando essa inclinação:
k2 = f(x0 + h, yestimado) = 1^2 - 11^2 + 1 = 02 = 0
Agora, vamos calcular a segunda inclinação no ponto :
Então, .

Passo 6

Com as duas inclinações y1 = y0 + h2 (k1 + k2) = 1 + 12 (0 + 0) = 1 + 0 = 1 e , vamos calcular a média delas e atualizar o valor de :

Resposta

Após aplicar o Método de Euler Aperfeiçoado com passo , a aproximação para é 1.

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