Considere o PVI
Repita o item (a), usando agora o método de Euler Aperfeiçoado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um Problema de Valor Inicial (PVI) com a equação diferencial
e a condição inicial
. A matéria aqui é métodos numéricos para resolver equações diferenciais, e vamos usar o Método de Euler Aperfeiçoado para encontrar uma aproximação da solução.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar rapidinho o que é o Método de Euler Aperfeiçoado. Esse método é uma versão mais precisa do Método de Euler simples. Enquanto o Método de Euler simples usa a inclinação no início do intervalo para estimar o próximo valor de y, o Método de Euler Aperfeiçoado calcula uma média das inclinações no início e no final do intervalo. Isso ajuda a melhorar a precisão da nossa aproximação.
Passo 3
Vamos definir o tamanho do passo, que é o quanto a gente vai avançar no eixo x a cada cálculo. Vamos usar
para simplificar, ou seja, vamos calcular
em
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a primeira inclinação usando a condição inicial:
Então,
.
Passo 5
Em seguida, vamos estimar o valor de
no próximo ponto usando essa inclinação:
Agora, vamos calcular a segunda inclinação no ponto
:
Então,
.
Passo 6
Com as duas inclinações
e
, vamos calcular a média delas e atualizar o valor de
:
Resposta
Após aplicar o Método de Euler Aperfeiçoado com passo
, a aproximação para
é 1.
Exercícios relacionados
Apresente a fórmula de iteração para o método de Taylor de ordem 2 aplicado ao PVI abaixo:
sendo
;
Calcule um limitante superior para o erro do método obtido em (a).
Calcule um limitante superior para o erro do método obtido em (a).
Considere o PVI
Comparando com a solução exata do problema, você esperaria que o erro tivese sempre o mesmo sinal? Justifique.
Considere o PVI
Usando um método de inicialização adequado, aplique os seguintes métodos para computar aproximações para
:
a) Método de Adams-Bashforth de 2 passos.
Em cada caso, verifque se seus resultados satisfazem a ordem esperado do erro de truncamento local.
a) Método de Adams-Bashforth de 2 passos.
Em cada caso, verifque se seus resultados satisfazem a ordem esperado do erro de truncamento local.
Considere o PVI
Mostre que o método de Euler Aperfeiçoado, quando aplicado a esta equação fornece: