Considere o PVI
Repita o item (a), usando agora o método de Euler Aperfeiçoado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um Problema de Valor Inicial (PVI) com a equação diferencial e a condição inicial . A matéria aqui é métodos numéricos para resolver equações diferenciais, e vamos usar o Método de Euler Aperfeiçoado para encontrar uma aproximação da solução.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar rapidinho o que é o Método de Euler Aperfeiçoado. Esse método é uma versão mais precisa do Método de Euler simples. Enquanto o Método de Euler simples usa a inclinação no início do intervalo para estimar o próximo valor de y, o Método de Euler Aperfeiçoado calcula uma média das inclinações no início e no final do intervalo. Isso ajuda a melhorar a precisão da nossa aproximação.

Passo 3

Vamos definir o tamanho do passo, que é o quanto a gente vai avançar no eixo x a cada cálculo. Vamos usar para simplificar, ou seja, vamos calcular em .

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira inclinação usando a condição inicial:
Então, .

Passo 5

Em seguida, vamos estimar o valor de no próximo ponto usando essa inclinação:
Agora, vamos calcular a segunda inclinação no ponto :
Então, .

Passo 6

Com as duas inclinações e , vamos calcular a média delas e atualizar o valor de :

Resposta

Após aplicar o Método de Euler Aperfeiçoado com passo , a aproximação para é 1.

Exercícios relacionados

Apresente a fórmula de iteração para o método de Taylor de ordem 2 aplicado ao PVI abaixo:
sendo ;
Calcule um limitante superior para o erro do método obtido em (a).
Considere o PVI
Comparando com a solução exata do problema, você esperaria que o erro tivese sempre o mesmo sinal? Justifique.
Considere o PVI
Usando um método de inicialização adequado, aplique os seguintes métodos para computar aproximações para :
a) Método de Adams-Bashforth de 2 passos.
Em cada caso, verifque se seus resultados satisfazem a ordem esperado do erro de truncamento local.
Considere o PVI
Mostre que o método de Euler Aperfeiçoado, quando aplicado a esta equação fornece: