Reduza a um sistema de três equações de ordem.
Como fica o método de Euler para esta equação?
Passo 1
Beleza, vamos ver qual é o problema aqui. A questão nos dá uma equação diferencial de terceira ordem:
Nosso objetivo é transformar essa equação em um sistema de três equações de primeira ordem e depois aplicar o método de Euler para resolver esse sistema. Para fazer isso, vamos precisar entender como reduzir uma equação de ordem superior para um sistema de equações de primeira ordem e, em seguida, aplicar o método de Euler, que é uma técnica numérica para resolver sistemas de equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos reduzir a equação diferencial de terceira ordem para um sistema de três equações de primeira ordem. Para isso, vamos introduzir variáveis auxiliares que representam as derivadas de .
Vamos definir:
(a própria função)
(a primeira derivada de )
(a segunda derivada de )
Agora, podemos expressar as derivadas dessas novas variáveis:
(porque )
(porque )
(a terceira derivada de , que vamos substituir a partir da equação original)
Agora, vamos substituir na equação original:
Substituindo as variáveis que definimos:
Passo 3
Agora que temos nosso sistema de três equações de primeira ordem, podemos resumi-las:
Esse é o sistema que vamos usar para aplicar o método de Euler.
Passo 4
Vamos falar um pouquinho sobre o método de Euler. Ele é uma técnica simples de resolução numérica para sistemas de equações diferenciais. A ideia é aproximar a solução passo a passo, usando uma pequena variação em , chamada de passo .
Para cada equação do sistema, a atualização no próximo ponto é dada por:
onde é a derivada da função no ponto atual.
Passo 5
Aplicando o método de Euler ao nosso sistema de três equações, teremos:
Para :
Para :
Para :
Aqui, , e são os valores atuais de cada variável no passo , e , , são os valores atualizados no próximo passo .
Resposta
O método de Euler para a equação dada, após reduzir para um sistema de três equações de primeira ordem, é:
Esse sistema permite calcular as aproximações sucessivas para , e utilizando o passo escolhido.