Para aproximar alpha=raiz1964 com duas casas decimais exatas, o seguinte algoritmo foi usado para o cálculo:
  1. f(x)=x^* x-1964
  2. a=44
  3. b=45
  4. e p s=5 e-3
  5. f a=f(a)
  6. Para k=1 até 50 faça:
  7. c=(a+b) / 2
  8. Se abs(c-a)<max(1,abs©)*eps entāo interrompa o laço
  9. fc=f(c)
  10. Se f a^* f c então b=c
  11. Se fa*fc> então a=c
  12. Imprima O algoritmo foi executado manualmente com o auxilio de uma calculadora de 10 algarismos e se obteve a saída:
    A raiz quadrada de 1964 ė 44.375
    A respeito desta soluçāo para o problema, é correto afirmar que (marque todas as que se aplicam):a. O algoritmo contém um erro na linha 8.b. Falta uma instruçāo na linha ll.c. A resposta está correta.d. Há um erro na linha 4.e. Nas condiçōes do enunciado, o método iterativo escolhido é divergente.f. A resposta se deve à propagaçāo do erro inerente ao método utilizado.g. A resposta está errada.h. O algoritmo pára antes do esperado.i. A resposta estaria correta se um computador fosse utilizado ao invés de uma calculadora.
    Escolha uma opçāo:
    Verdadeiro
    Falso

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para aproximar usando um algoritmo específico. A matéria envolvida aqui é Métodos Numéricos, especificamente o Método da Bisseção, que serve para encontrar raízes de funções. Para resolver isso, vamos analisar cada passo do algoritmo e verificar as afirmativas apresentadas.

Passo 2

Primeiro, o algoritmo define a função . Essa função nos ajuda a encontrar onde ela é zero, ou seja, onde , que é justamente a definição da raiz quadrada de 1964.

Passo 3

Os valores iniciais são e . Esses são os intervalos onde a raiz quadrada está localizada. A ideia do método da bisseção é reduzir esse intervalo até encontrar uma aproximação da raiz.

Passo 4

A tolerância de erro é definida como (ou 0,005). Isso significa que queremos que a diferença entre as aproximações seja menor que esse valor para considerar que encontramos a raiz com a precisão desejada.

Passo 5

Calculamos , ou seja, substituímos na função: . Isso nos dá o valor da função no ponto .

Passo 6

O algoritmo inicia um laço que será executado até 50 vezes ou até que a condição de parada seja atendida.

Passo 7

Dentro do laço, calculamos , que é o ponto médio do intervalo atual. Esse é o próximo palpite para a raiz.

Passo 8

Verificamos se . Se for verdade, interrompemos o laço porque a aproximação está dentro da tolerância definida.

Passo 9

Calculamos , ou seja, substituímos na função para ver o sinal da função nesse ponto.

Passo 10

Se (provavelmente quer dizer ), então atualizamos . Isso significa que a raiz está no intervalo .

Passo 11

Se , então atualizamos . Isso significa que a raiz está no intervalo .

Passo 12

Finalmente, o algoritmo imprime que a raiz quadrada de 1964 é 44.375 após executar manualmente com uma calculadora de 10 algarismos.

Resposta

Analisando as afirmativas:
a. Verdadeiro. Há um erro na linha 8: a condição deveria verificar para determinar a mudança de intervalo, mas está incompleta.
b. Verdadeiro. Falta uma instrução na linha 11 após o sinal maior que, provavelmente deveria ser .
c. Falso. A resposta está incorreta pois a raiz quadrada de 1964 é 44,3 arredondando para duas casas decimais.
d. Verdadeiro. Na linha 4, está definido como , mas isso pode não ser suficiente para a precisão desejada.
e. Falso. O método da bisseção é convergente quando a função é contínua no intervalo e os sinais de e são opostos.
f. Verdadeiro. A resposta manual com cálculo limitado pode introduzir erros de arredondamento.
g. Verdadeiro. A resposta está errada devido aos erros mencionados.
h. Verdadeiro. O algoritmo para antes do esperado devido à condição de parada incorreta.
i. Verdadeiro. Usar um computador reduziria a propagação de erros devido à maior precisão dos cálculos.
Portanto, as opções corretas são: a, b, c, d, f, g, h, i.

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