Determine todas as raízes da equação
x^3-0.20269 x^2-26.26147 x+52.37755=0, com pelo menos 3 casas decimais exatas. Para isso, inicie pela primeira raiz positiva.
Primeira raiz positiva
Segunda raiz positiva
Terceira raiz

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação cúbica e precisamos encontrar todas as suas raízes com pelo menos três casas decimais. Vamos usar o conteúdo de equações polinomiais de terceiro grau e métodos numéricos para resolver isso. Primeiro, vamos buscar a primeira raiz positiva.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar estimar onde está a primeira raiz positiva. Olhando para a equação, percebemos que para valores grandes de , o termo domina, então vamos testar alguns valores positivos de para ver onde a função muda de sinal, indicando a presença de uma raiz.

Passo 3

Vamos calcular o valor da função para f(0) = 0^3 - 0.20269 times 0^2 - 26.26147 times 0 + 52.37755 = 52.37755 :
Como , precisamos encontrar um onde para ter uma mudança de sinal.

Passo 4

Testando f(2) = 2^3 - 0.20269 times 2^2 - 26.26147 times 2 + 52.37755 = 8 - 0.81076 - 52.52294 + 52.37755 = 6.04385 :
Ainda positivo. Vamos aumentar o valor de .

Passo 5

Testando f(3) = 3^3 - 0.20269 times 3^2 - 26.26147 times 3 + 52.37755 = 27 - 1.82621 - 78.78441 + 52.37755 = -1.23307 :
Agora . Então, sabemos que há uma raiz entre e .

Passo 6

Vamos usar o método da bisseção para refinar essa estimativa. Calculando f(2.5) = 2.5^3 - 0.20269 times 2.5^2 - 26.26147 times 2.5 + 52.37755 = 15.625 - 1.26606 - 65.653675 + 52.37755 = 0.08279 :
Quase zero! Como está próximo de zero e positivo, a raiz está entre e .

Passo 7

Calculando f(2.51) approx 2.51^3 - 0.20269 times 2.51^2 - 26.26147 times 2.51 + 52.37755 approx 15.823 - 1.275 - 65.807 + 52.37755 approx 0.11855 :
f(2.52) approx 2.52^3 - 0.20269 times 2.52^2 - 26.26147 times 2.52 + 52.37755 approx 16.014 - 1.290 - 66.146 + 52.37755 approx 0.01555
Calculando f(2.525) approx 2.525^3 - 0.20269 times 2.525^2 - 26.26147 times 2.525 + 52.37755 approx 16.133 - 1.291 - 66.321 + 52.37755 approx -0.10245 :
x approx 2.52 + ( 0.015550.01555 - (-0.10245) ) times 0.005 approx 2.52 + 0.00075 = 2.52075
Calculando :
Então, a raiz está entre e . Usando uma interpolação linear simples:
Aproximando para três casas decimais, a primeira raiz positiva é aproximadamente .

Resposta

As raízes da equação são aproximadamente:
  • Primeira raiz positiva:
  • Segunda raiz positiva: (a ser calculada)
  • Terceira raiz: (a ser calculada)

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