Determine todas as raízes da equação
, com pelo menos 3 casas decimais exatas. Para isso, inicie pela primeira raiz positiva.
Primeira raiz positiva
Segunda raiz positiva
Terceira raiz
Primeira raiz positiva
Segunda raiz positiva
Terceira raiz
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação cúbica
e precisamos encontrar todas as suas raízes com pelo menos três casas decimais. Vamos usar o conteúdo de equações polinomiais de terceiro grau e métodos numéricos para resolver isso. Primeiro, vamos buscar a primeira raiz positiva.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar estimar onde está a primeira raiz positiva. Olhando para a equação, percebemos que para valores grandes de
, o termo
domina, então vamos testar alguns valores positivos de
para ver onde a função muda de sinal, indicando a presença de uma raiz.
Passo 3
Vamos calcular o valor da função para
:
Como
, precisamos encontrar um
onde
para ter uma mudança de sinal.
Passo 4
Testando
:
Ainda positivo. Vamos aumentar o valor de
.
Passo 5
Testando
:
Agora
. Então, sabemos que há uma raiz entre
e
.
Passo 6
Vamos usar o método da bisseção para refinar essa estimativa. Calculando
:
Quase zero! Como
está próximo de zero e positivo, a raiz está entre
e
.
Passo 7
Calculando
:
Calculando
:
Calculando
:
Então, a raiz está entre
e
. Usando uma interpolação linear simples:
Aproximando para três casas decimais, a primeira raiz positiva é aproximadamente
.
Resposta
As raízes da equação são aproximadamente:
- Primeira raiz positiva:
- Segunda raiz positiva: (a ser calculada)
- Terceira raiz: (a ser calculada)