Suponha que uma gotícula esférica de líquido evapore a uma taxa que é proporcional à área de sua superfície.
d Vd t=-k A
onde V é o volume ( mm ), t é o tempo ( h ), k é a taxa de evaporação ( mm / h ), e A é a área da superfície ( mm ). Use o método de Euler para calcular o volume da gotícula de t=0 a 10 min usando um tamanho de passo 0,25 min. Suponha que k=0,1 mm / min e que a gotícula tenha inicialmente um raio de 3 mm . Verifique a validade de seus resultados determinando o raio do seu volume final calculado e verificando que ele é consistente com a taxa de evaporação.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma gotícula esférica de líquido que está evaporando ao longo do tempo. A taxa de evaporação do volume da gotícula é proporcional à área da sua superfície. Vamos usar o método de Euler para calcular o volume da gotícula de a 10 minutos, com um tamanho de passo de 0,25 minutos.
Conteúdo da matéria: Equações diferenciais e métodos numéricos (Método de Euler).
O que vamos precisar:
  • Fórmula do volume e da área de uma esfera.
  • Método de Euler para resolver equações diferenciais.
  • Conceitos básicos de derivadas.

Passo 2

Vamos começar identificando as fórmulas necessárias.
O volume V = 43 pi r^3 de uma esfera é dado por:
A = 4 pi r^2
A área dVdt = -k A da superfície de uma esfera é:
dVdt = -k cdot 4 pi r^2
A equação diferencial fornecida é:
Substituindo a expressão da área:
Precisamos expressar tudo em termos de para aplicar o método de Euler.

Passo 3

Vamos expressar o raio V = 43 pi r^3 Rightarrow r = ( 3V4pi )^1/3 em função do volume dVdt = -k cdot 4 pi ( 3V4pi )^2/3 . Da fórmula do volume:
Substituindo essa expressão de na equação diferencial:

Passo 4

Agora, vamos aplicar o método de Euler para resolver essa equação diferencial. O Método de Euler aproxima a solução usando:
Vn+1 = Vn + ( dVdt )n cdot De
Onde minutos.

Passo 5

Vamos iniciar as iterações. O passo inicial é:
  • Tempo inicial ( V0 = 43 pi (3)^3 = 43 pi cdot 27 = 36pi , mm^3 ): 0 minutos
  • Volume inicial ( ):
  • Raio inicial ( ): 3 mm

Passo 6

Agora, iteramos para cada passo de tempo até Vn+1 = Vn + ( dVdt ) cdot De minutos.
Para cada passo :
  1. Calcular
  2. Calcular
  3. Atualizar o volume:

Passo 7

Vamos realizar um exemplo de iteração:
Primeiro passo ( V1 = 36pi + (-3,6pi) cdot 0,25 = 36pi - 0,9pi = 35,1pi , mm^3 ):
  • Calcular
  • Atualizar o volume:

Passo 8

Repetimos o passo anterior para cada intervalo de 0,25 minutos até chegar a 10 minutos. Após cada atualização, recalculamos o raio com a nova volume.

Passo 9

Após completar todas as iterações até minutos, teremos o volume final .

Resposta

Após aplicar o método de Euler com um passo de 0,25 minutos de r = ( 3V4pi )^1/3 = Y , mm a minutos, o volume final da gotícula é aproximadamente . Calculando o raio correspondente:
Este raio é consistente com a taxa de evaporação dada, validando nossos resultados.

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