Suponha que uma gotícula esférica de líquido evapore a uma taxa que é proporcional à área de sua superfície.
onde V é o volume ( mm ), t é o tempo ( h ), k é a taxa de evaporação (
), e A é a área da superfície ( mm ). Use o método de Euler para calcular o volume da gotícula de
10 min usando um tamanho de passo
. Suponha que
e que a gotícula tenha inicialmente um raio de 3 mm . Verifique a validade de seus resultados determinando o raio do seu volume final calculado e verificando que ele é consistente com a taxa de evaporação.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma gotícula esférica de líquido que está evaporando ao longo do tempo. A taxa de evaporação do volume da gotícula é proporcional à área da sua superfície. Vamos usar o método de Euler para calcular o volume da gotícula de
a 10 minutos, com um tamanho de passo de 0,25 minutos.
Conteúdo da matéria: Equações diferenciais e métodos numéricos (Método de Euler).
O que vamos precisar:
- Fórmula do volume e da área de uma esfera.
- Método de Euler para resolver equações diferenciais.
- Conceitos básicos de derivadas.
Passo 2
Vamos começar identificando as fórmulas necessárias.
O volume
de uma esfera é dado por:
A área
da superfície de uma esfera é:
A equação diferencial fornecida é:
Substituindo a expressão da área:
Precisamos expressar tudo em termos de
para aplicar o método de Euler.
Passo 3
Vamos expressar o raio
em função do volume
. Da fórmula do volume:
Substituindo essa expressão de
na equação diferencial:
Passo 4
Agora, vamos aplicar o método de Euler para resolver essa equação diferencial. O Método de Euler aproxima a solução usando:
Onde
minutos.
Passo 5
Vamos iniciar as iterações. O passo inicial é:
- Tempo inicial (
): 0 minutos - Volume inicial (
):
- Raio inicial (
): 3 mm
Passo 6
Agora, iteramos para cada passo de tempo até
minutos.
Para cada passo
:
- Calcular
- Calcular
- Atualizar o volume:
Passo 7
Vamos realizar um exemplo de iteração:
Primeiro passo (
):
-
-
- Calcular
- Atualizar o volume:
Passo 8
Repetimos o passo anterior para cada intervalo de 0,25 minutos até chegar a 10 minutos. Após cada atualização, recalculamos o raio com a nova volume.
Passo 9
Após completar todas as iterações até
minutos, teremos o volume final
.
Resposta
Após aplicar o método de Euler com um passo de 0,25 minutos de
a
minutos, o volume final da gotícula é aproximadamente
. Calculando o raio correspondente:
Este raio é consistente com a taxa de evaporação dada, validando nossos resultados.