Suponhamos que, num laboratório, obtivemos experimentalmente os seguintes valores para sobre os pontos .
0,2
36,547 17,264 8,155 3,852 1,820
Realize um ajuste exponencial dos dados pelo método dos mínimos quadrados. Calcule também o erro absoluto da aproximação.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. A gente tem um conjunto de pontos experimentais e precisa ajustar esses dados a uma função exponencial usando o método dos mínimos quadrados. Além disso, vamos calcular o erro absoluto dessa aproximação. Para isso, vamos precisar entender sobre regressão exponencial, mínimos quadrados e como calcular erros.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma regressão exponencial. É um tipo de ajuste de curva onde a relação entre e é modelada por uma função na forma:
Aqui, e são os parâmetros que queremos encontrar para melhor ajustar os nossos dados.

Passo 3

Agora, o método dos mínimos quadrados é uma técnica para encontrar os melhores valores de e que minimizam a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela nossa função. Para facilitar os cálculos, vamos linearizar a equação exponencial.

Passo 4

Vamos começar transformando a equação exponencial. Tomando o logaritmo natural dos dois lados, temos:
Isso é útil porque agora a equação está na forma de uma reta, , onde e . Assim, podemos usar a regressão linear para encontrar e .

Passo 5

Vamos organizar nossos dados:

Passo 6

Agora, vamos calcular as somas necessárias para a regressão linear:

Passo 7

Com esses valores, podemos calcular e usando as fórmulas da regressão linear:
Vamos substituir os valores:

Passo 8

Agora que temos , podemos encontrar :
Então, a equação ajustada fica:

Passo 9

Finalmente, vamos calcular o erro absoluto da aproximação. O erro absoluto para cada ponto é a diferença entre o valor observado e o valor previsto pela nossa equação ajustada :
Vamos calcular para cada ponto:

Resposta

A função exponencial que ajusta os dados pelo método dos mínimos quadrados é:
O erro absoluto da aproximação para cada ponto foi calculado e é mínimo, indicando um bom ajuste.

Exercícios relacionados

Um perito da polícia federal relatou os dados tabulados a seguir. Sabe-se que esses dados podem ser modelados pela seguinte equação
onde e são parâmetros. Use regressão para determinar e . Com base na sua análise, faça a previsão de .
1 2 3 4 5
0,5 2 2,9 3,5 4
Usando a mesma abordagem que foi empregada para deduzir as equações do método dos mínimos quadrados, deduza um ajuste para o seguinte modelo:
ou seja, determine os coeficientes que resultam no ajuste por mínimos quadrados para um polinômio de segundo grau com interseção com o eixo igual a zero.
Aproximar a função no intervalo por um polinômio de terceiro grau, usando os valores de com incremento de 0,25 .
O seguinte conjunto de dados apresentados ao Sub-Comitê de seguradoras de automóveis mostra características comparativas entre os carros (separados por categoria de peso) e a percentagem de ocorrência de sinistro. Encontre a reta de mínimos quadrados que aproxima esses dados e encontre a porcentagem baseado no manual de um carro que informa que o peso do automóvel é 1000 kg . Considere .
Tipo Peso médio Porcentagem de ocorrência
De passeio luxo padrão 4800 lb 3,1
De passeio intermediário padrão 3700 lb 4,0
De passeio econômico padrão 3400 lb 5,2
De passeio compacto 2800 lb 6,4
Compacto importado 1900 lb 9,6