Suponhamos que, num laboratório, obtivemos experimentalmente os seguintes valores para yi sobre os pontos xi, i=1, ldots, 8.
x -1,0 -0,7 -0,4 -0,1 0,2
y 36,547 17,264 8,155 3,852 1,820
Realize um ajuste exponencial dos dados pelo método dos mínimos quadrados. Calcule também o erro absoluto da aproximação.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. A gente tem um conjunto de pontos experimentais e precisa ajustar esses dados a uma função exponencial usando o método dos mínimos quadrados. Além disso, vamos calcular o erro absoluto dessa aproximação. Para isso, vamos precisar entender sobre regressão exponencial, mínimos quadrados e como calcular erros.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma regressão exponencial. É um tipo de ajuste de curva onde a relação entre y = a cdot e^b x e é modelada por uma função na forma:
Aqui, e são os parâmetros que queremos encontrar para melhor ajustar os nossos dados.

Passo 3

Agora, o método dos mínimos quadrados é uma técnica para encontrar os melhores valores de e que minimizam a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela nossa função. Para facilitar os cálculos, vamos linearizar a equação exponencial.

Passo 4

Vamos começar transformando a equação exponencial. Tomando o logaritmo natural dos dois lados, temos:
ln(y) = ln(a) + b x
Isso é útil porque agora a equação está na forma de uma reta, , onde e . Assim, podemos usar a regressão linear para encontrar e .

Passo 5

Vamos organizar nossos dados:
|c|c|c| hline xi & yi & ln(yi) hline -1.0 & 36.547 & ln(36.547) approx 3.599 -0.7 & 17.264 & ln(17.264) approx 2.853 -0.4 & 8.155 & ln(8.155) approx 2.099 -0.1 & 3.852 & ln(3.852) approx 1.352 0.2 & 1.820 & ln(1.820) approx 0.599 hline

Passo 6

Agora, vamos calcular as somas necessárias para a regressão linear:
n &= 5 sum xi &= -1.0 - 0.7 - 0.4 - 0.1 + 0.2 = -2.0 sum ln(yi) &= 3.599 + 2.853 + 2.099 + 1.352 + 0.599 approx 10.502 sum xi^2 &= (-1.0)^2 + (-0.7)^2 + (-0.4)^2 + (-0.1)^2 + (0.2)^2 = 1 + 0.49 + 0.16 + 0.01 + 0.04 = 1.7 sum xi ln(yi) &= (-1.0)(3.599) + (-0.7)(2.853) + (-0.4)(2.099) + (-0.1)(1.352) + (0.2)(0.599) &approx -3.599 - 1.997 - 0.840 - 0.135 + 0.120 &approx -6.451

Passo 7

Com esses valores, podemos calcular b = n sum xi ln(yi) - (sum xi)(sum ln(yi))n sum xi^2 - (sum xi)^2 e C = sum ln(yi) - b sum xin usando as fórmulas da regressão linear:
b = 5 times (-6.451) - (-2.0) times 10.5025 times 1.7 - (-2.0)^2 = -32.255 + 21.0048.5 - 4 = -11.2514.5 approx -2.500
C = 10.502 - (-2.500) times (-2.0)5 = 10.502 - 5.05 = 5.5025 approx 1.100
Vamos substituir os valores:

Passo 8

Agora que temos a = e^C approx e^1.100 approx 3.004 , podemos encontrar y = 3.004 cdot e^-2.500 x :
Então, a equação ajustada fica:

Passo 9

Finalmente, vamos calcular o erro absoluto da aproximação. O erro absoluto para cada ponto é a diferença entre o valor observado Erro Absoluto = |yi - yi| e o valor previsto pela nossa equação ajustada |c|c|c|c| hline xi & yi & yi = 3.004 cdot e^-2.500 xi & Erro Absoluto hline -1.0 & 36.547 & 3.004 cdot e^2.5 approx 3.004 cdot 12.182 approx 36.547 & |36.547 - 36.547| = 0 -0.7 & 17.264 & 3.004 cdot e^1.75 approx 3.004 cdot 5.754 approx 17.295 & |17.264 - 17.295| approx 0.031 -0.4 & 8.155 & 3.004 cdot e^1.0 approx 3.004 cdot 2.718 approx 8.168 & |8.155 - 8.168| approx 0.013 -0.1 & 3.852 & 3.004 cdot e^0.25 approx 3.004 cdot 1.284 approx 3.858 & |3.852 - 3.858| approx 0.006 0.2 & 1.820 & 3.004 cdot e^-0.5 approx 3.004 cdot 0.607 approx 1.823 & |1.820 - 1.823| approx 0.003 hline :
Vamos calcular para cada ponto:

Resposta

A função exponencial que ajusta os dados pelo método dos mínimos quadrados é:
y = 3.004 cdot e^-2.500 x
O erro absoluto da aproximação para cada ponto foi calculado e é mínimo, indicando um bom ajuste.

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