Suponhamos que, num laboratório, obtivemos experimentalmente os seguintes valores para
sobre os pontos
.
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0,2 |
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36,547 | 17,264 | 8,155 | 3,852 | 1,820 |
Realize um ajuste exponencial dos dados pelo método dos mínimos quadrados. Calcule também o erro absoluto da aproximação.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. A gente tem um conjunto de pontos experimentais
e precisa ajustar esses dados a uma função exponencial usando o método dos mínimos quadrados. Além disso, vamos calcular o erro absoluto dessa aproximação. Para isso, vamos precisar entender sobre regressão exponencial, mínimos quadrados e como calcular erros.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma regressão exponencial. É um tipo de ajuste de curva onde a relação entre
e
é modelada por uma função na forma:
Aqui,
e
são os parâmetros que queremos encontrar para melhor ajustar os nossos dados.
Passo 3
Agora, o método dos mínimos quadrados é uma técnica para encontrar os melhores valores de
e
que minimizam a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela nossa função. Para facilitar os cálculos, vamos linearizar a equação exponencial.
Passo 4
Vamos começar transformando a equação exponencial. Tomando o logaritmo natural dos dois lados, temos:
Isso é útil porque agora a equação está na forma de uma reta,
, onde
e
. Assim, podemos usar a regressão linear para encontrar
e
.
Passo 5
Vamos organizar nossos dados:
Passo 6
Agora, vamos calcular as somas necessárias para a regressão linear:
Passo 7
Com esses valores, podemos calcular
e
usando as fórmulas da regressão linear:
Vamos substituir os valores:
Passo 8
Agora que temos
, podemos encontrar
:
Então, a equação ajustada fica:
Passo 9
Finalmente, vamos calcular o erro absoluto da aproximação. O erro absoluto para cada ponto é a diferença entre o valor observado
e o valor previsto pela nossa equação ajustada
:
Vamos calcular para cada ponto:
Resposta
A função exponencial que ajusta os dados pelo método dos mínimos quadrados é:
O erro absoluto da aproximação para cada ponto foi calculado e é mínimo, indicando um bom ajuste.
Exercícios relacionados
Um perito da polícia federal relatou os dados tabulados a seguir. Sabe-se que esses dados podem ser modelados pela seguinte equação
onde
e
são parâmetros. Use regressão para determinar
e
. Com base na sua análise, faça a previsão de
.
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1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
---|---|---|---|---|---|
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0,5 | 2 | 2,9 | 3,5 | 4 |
Usando a mesma abordagem que foi empregada para deduzir as equações do método dos mínimos quadrados, deduza um ajuste para o seguinte modelo:
ou seja, determine os coeficientes que resultam no ajuste por mínimos quadrados para um polinômio de segundo grau com interseção com o eixo
igual a zero.
Aproximar a função
no intervalo
por um polinômio de terceiro grau, usando os valores de
com incremento de 0,25 .
O seguinte conjunto de dados apresentados ao Sub-Comitê de seguradoras de automóveis mostra características comparativas entre os carros (separados por categoria de peso) e a percentagem de ocorrência de sinistro. Encontre a reta de mínimos quadrados que aproxima esses dados e encontre a porcentagem baseado no manual de um carro que informa que o peso do automóvel é 1000 kg . Considere
.
Tipo | Peso médio | Porcentagem de ocorrência |
---|---|---|
De passeio luxo padrão | 4800 lb | 3,1 |
De passeio intermediário padrão | 3700 lb | 4,0 |
De passeio econômico padrão | 3400 lb | 5,2 |
De passeio compacto | 2800 lb | 6,4 |
Compacto importado | 1900 lb | 9,6 |