Suponhamos que, num laboratório, obtivemos experimentalmente os seguintes valores para
sobre os pontos
.
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0,2 |
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36,547 | 17,264 | 8,155 | 3,852 | 1,820 |
Realize um ajuste exponencial dos dados pelo método dos mínimos quadrados. Calcule também o erro absoluto da aproximação.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. A gente tem um conjunto de pontos experimentais
e precisa ajustar esses dados a uma função exponencial usando o método dos mínimos quadrados. Além disso, vamos calcular o erro absoluto dessa aproximação. Para isso, vamos precisar entender sobre regressão exponencial, mínimos quadrados e como calcular erros.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma regressão exponencial. É um tipo de ajuste de curva onde a relação entre
e
é modelada por uma função na forma:
Aqui,
e
são os parâmetros que queremos encontrar para melhor ajustar os nossos dados.
Passo 3
Agora, o método dos mínimos quadrados é uma técnica para encontrar os melhores valores de
e
que minimizam a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela nossa função. Para facilitar os cálculos, vamos linearizar a equação exponencial.
Passo 4
Vamos começar transformando a equação exponencial. Tomando o logaritmo natural dos dois lados, temos:
Isso é útil porque agora a equação está na forma de uma reta,
, onde
e
. Assim, podemos usar a regressão linear para encontrar
e
.
Passo 5
Vamos organizar nossos dados:
Passo 6
Agora, vamos calcular as somas necessárias para a regressão linear:
Passo 7
Com esses valores, podemos calcular
e
usando as fórmulas da regressão linear:
Vamos substituir os valores:
Passo 8
Agora que temos
, podemos encontrar
:
Então, a equação ajustada fica:
Passo 9
Finalmente, vamos calcular o erro absoluto da aproximação. O erro absoluto para cada ponto é a diferença entre o valor observado
e o valor previsto pela nossa equação ajustada
:
Vamos calcular para cada ponto:
Resposta
A função exponencial que ajusta os dados pelo método dos mínimos quadrados é:
O erro absoluto da aproximação para cada ponto foi calculado e é mínimo, indicando um bom ajuste.