Um perito da polícia federal relatou os dados tabulados a seguir. Sabe-se que esses dados podem ser modelados pela seguinte equação
y=A x^3+B
onde A e B são parâmetros. Use regressão para determinar A e B. Com base na sua análise, faça a previsão de y em x=2,6.
x 1 2 3 4 5
y 0,5 2 2,9 3,5 4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde precisamos encontrar os valores de e na equação usando regressão. A ideia é ajustar essa equação aos dados fornecidos para prever o valor de quando . Para isso, vamos usar o método dos mínimos quadrados, que ajuda a encontrar a melhor linha (ou curva) que se encaixa nos dados que temos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa usar regressão para encontrar e . O método dos mínimos quadrados busca minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados ( ) e os valores estimados pela nossa equação ( ). Para fazer isso, precisamos estabelecer um sistema de equações baseado nos nossos dados.

Passo 3

Vamos organizar nossos dados:
sum y &= 0,5 + 2 + 2,9 + 3,5 + 4 = 12,9 sum x^3 &= 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 = 1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 225 sum x^6 &= 1^6 + 2^6 + 3^6 + 4^6 + 5^6 = 1 + 64 + 729 + 4096 + 15625 = 20515 sum x^3 y &= (1^3 times 0,5) + (2^3 times 2) + (3^3 times 2,9) + (4^3 times 3,5) + (5^3 times 4) &= (1 times 0,5) + (8 times 2) + (27 times 2,9) + (64 times 3,5) + (125 times 4) &= 0,5 + 16 + 78,3 + 224 + 500 &= 818,8 1 2 3 4 5
0,5 2 2,9 3,5 4
Agora, precisamos calcular algumas somas que vão nos ajudar a montar o sistema de equações:
  • : soma de todos os valores de
  • : soma de todos os valores de
  • : soma de todos os valores de
  • : soma do produto de por
Vamos calcular essas somas:

Passo 4

Agora, vamos montar o sistema de equações baseado nas somas que calculamos. Usando o método dos mínimos quadrados, temos:
sum y = A sum x^3 + n B sum x^3 y = A sum x^6 + sum x^3 B
Onde 12,9 = 225 A + 5 B 818,8 = 20515 A + 225 B é o número de dados, que nesse caso é 5.
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar 12,9 = 225 A + 5 B Rightarrow 5 B = 12,9 - 225 A Rightarrow B = 12,9 - 225 A5 Rightarrow B = 2,58 - 45 A e 818,8 = 20515 A + 225 (2,58 - 45 A) 818,8 = 20515 A + 225 times 2,58 - 225 times 45 A 818,8 = 20515 A + 580,5 - 10125 A 818,8 - 580,5 = (20515 - 10125) A 238,3 = 10390 A A = 238,310390 A approx 0,02293 .
Primeiro, da primeira equação:
B = 2,58 - 45 times 0,02293 B approx 2,58 - 1,03185 B approx 1,54815
Agora, substituímos o valor de na segunda equação:
Agora, encontramos . Vamos substituir esse valor na expressão que encontramos para :

Passo 6

Agora que temos os valores de y = 0,02293 , x^3 + 1,54815 e , nossa equação de regressão fica:

Passo 7

Por fim, vamos usar essa equação para prever o valor de y = 0,02293 times (2,6)^3 + 1,54815 y = 0,02293 times 17,576 + 1,54815 y approx 0,403 + 1,54815 y approx 1,95115 quando :

Resposta

Os parâmetros encontrados são e . Com base nessa análise, a previsão de para é aproximadamente .

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