Um perito da polícia federal relatou os dados tabulados a seguir. Sabe-se que esses dados podem ser modelados pela seguinte equação
onde e são parâmetros. Use regressão para determinar e . Com base na sua análise, faça a previsão de .
1 2 3 4 5
0,5 2 2,9 3,5 4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde precisamos encontrar os valores de e na equação usando regressão. A ideia é ajustar essa equação aos dados fornecidos para prever o valor de quando . Para isso, vamos usar o método dos mínimos quadrados, que ajuda a encontrar a melhor linha (ou curva) que se encaixa nos dados que temos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa usar regressão para encontrar e . O método dos mínimos quadrados busca minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados ( ) e os valores estimados pela nossa equação ( ). Para fazer isso, precisamos estabelecer um sistema de equações baseado nos nossos dados.

Passo 3

Vamos organizar nossos dados:
1 2 3 4 5
0,5 2 2,9 3,5 4
Agora, precisamos calcular algumas somas que vão nos ajudar a montar o sistema de equações:
  • : soma de todos os valores de
  • : soma de todos os valores de
  • : soma de todos os valores de
  • : soma do produto de por
Vamos calcular essas somas:

Passo 4

Agora, vamos montar o sistema de equações baseado nas somas que calculamos. Usando o método dos mínimos quadrados, temos:
Onde é o número de dados, que nesse caso é 5.
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar e .
Primeiro, da primeira equação:
Agora, substituímos o valor de na segunda equação:
Agora, encontramos . Vamos substituir esse valor na expressão que encontramos para :

Passo 6

Agora que temos os valores de e , nossa equação de regressão fica:

Passo 7

Por fim, vamos usar essa equação para prever o valor de quando :

Resposta

Os parâmetros encontrados são e . Com base nessa análise, a previsão de para é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Usando a mesma abordagem que foi empregada para deduzir as equações do método dos mínimos quadrados, deduza um ajuste para o seguinte modelo:
ou seja, determine os coeficientes que resultam no ajuste por mínimos quadrados para um polinômio de segundo grau com interseção com o eixo igual a zero.
A lista a seguir contém notas de trabalhos de casa e de exames finais para 15 alunos de Computação Numérica. Encontre a equação da reta de mínimos quadrados para estes dados e utilize esta reta para determinar a nota de trabalhos de casa necessária para que: A nota do Trabalho seja 290.
Trabalho 302 325 285 339
Final 45 72 54 54
Suponhamos que, num laboratório, obtivemos experimentalmente os seguintes valores para sobre os pontos .
0,2
36,547 17,264 8,155 3,852 1,820
Realize um ajuste exponencial dos dados pelo método dos mínimos quadrados. Calcule também o erro absoluto da aproximação.
Aproximar a função no intervalo por um polinômio de terceiro grau, usando os valores de com incremento de 0,25 .