Um perito da polícia federal relatou os dados tabulados a seguir. Sabe-se que esses dados podem ser modelados pela seguinte equação
onde
e
são parâmetros. Use regressão para determinar
e
. Com base na sua análise, faça a previsão de
.
|
1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
---|---|---|---|---|---|
|
0,5 | 2 | 2,9 | 3,5 | 4 |
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde precisamos encontrar os valores de
e
na equação
usando regressão. A ideia é ajustar essa equação aos dados fornecidos para prever o valor de
quando
. Para isso, vamos usar o método dos mínimos quadrados, que ajuda a encontrar a melhor linha (ou curva) que se encaixa nos dados que temos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa usar regressão para encontrar
e
. O método dos mínimos quadrados busca minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados (
) e os valores estimados pela nossa equação (
). Para fazer isso, precisamos estabelecer um sistema de equações baseado nos nossos dados.
Passo 3
Vamos organizar nossos dados:
|
1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
---|---|---|---|---|---|
|
0,5 | 2 | 2,9 | 3,5 | 4 |
Agora, precisamos calcular algumas somas que vão nos ajudar a montar o sistema de equações:
-
: soma de todos os valores de -
: soma de todos os valores de -
: soma de todos os valores de -
: soma do produto de por
Vamos calcular essas somas:
Passo 4
Agora, vamos montar o sistema de equações baseado nas somas que calculamos. Usando o método dos mínimos quadrados, temos:
Onde
é o número de dados, que nesse caso é 5.
Substituindo os valores:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar
e
.
Primeiro, da primeira equação:
Agora, substituímos o valor de
na segunda equação:
Agora, encontramos
. Vamos substituir esse valor na expressão que encontramos para
:
Passo 6
Agora que temos os valores de
e
, nossa equação de regressão fica:
Passo 7
Por fim, vamos usar essa equação para prever o valor de
quando
:
Resposta
Os parâmetros encontrados são
e
. Com base nessa análise, a previsão de
para
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Usando a mesma abordagem que foi empregada para deduzir as equações do método dos mínimos quadrados, deduza um ajuste para o seguinte modelo:
ou seja, determine os coeficientes que resultam no ajuste por mínimos quadrados para um polinômio de segundo grau com interseção com o eixo
igual a zero.
A lista a seguir contém notas de trabalhos de casa e de exames finais para 15 alunos de Computação Numérica. Encontre a equação da reta de mínimos quadrados para estes dados e utilize esta reta para determinar a nota de trabalhos de casa necessária para que: A nota do Trabalho seja 290.
Trabalho | 302 | 325 | 285 | 339 |
---|---|---|---|---|
Final | 45 | 72 | 54 | 54 |
Suponhamos que, num laboratório, obtivemos experimentalmente os seguintes valores para
sobre os pontos
.
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|
|
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0,2 |
---|---|---|---|---|---|
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36,547 | 17,264 | 8,155 | 3,852 | 1,820 |
Realize um ajuste exponencial dos dados pelo método dos mínimos quadrados. Calcule também o erro absoluto da aproximação.
Aproximar a função
no intervalo
por um polinômio de terceiro grau, usando os valores de
com incremento de 0,25 .