Aproximar, pelo método dos mínimos quadrados, a função
no intervalo
por
(b) um polinômio do segundo grau
usando polinômios ortonormais.
(b) um polinômio do segundo grau
usando polinômios ortonormais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para aproximar a função
no intervalo
usando o método dos mínimos quadrados. O conteúdo envolvido aqui são os polinômios ortonormais e a aproximação por mínimos quadrados. Vamos precisar entender como construir uma base ortonormal de polinômios e como utilizá-la para encontrar o polinômio de segundo grau que melhor aproxima
nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são polinômios ortonormais. São polinômios que são mutuamente ortogonais e cada um tem norma 1 em relação a um produto interno definido. No nosso caso, o produto interno será a integral do produto dos polinômios no intervalo
.
Passo 3
Vamos construir uma base ortonormal para polinômios de até segundo grau. Começamos com os polinômios básicos
,
e
, e aplicamos o processo de Gram-Schmidt para torná-los ortonormais.
Primeiro polinômio:
Para torná-lo ortonormal, calculamos sua norma:
Então, já está ortonormal.
Segundo polinômio:
Vamos ortogonalizar em relação a
:
Normalizamos:
Então:
Terceiro polinômio:
Ortogonalizamos em relação a
e
:
Calculando as integrais:
Então:
Normalizamos:
Então:
Passo 4
Agora que temos nossa base ortonormal
, podemos usar o método dos mínimos quadrados para encontrar o polinômio de segundo grau que melhor aproxima
.
A aproximação será:
Onde os coeficientes
são dados por:
Passo 5
Vamos calcular cada coeficiente:
Para
:
Como
, o termo correspondente é
.
Para
:
Vamos separar as integrais:
Calculando:
Então:
Para
:
Vamos expandir e calcular as integrais:
Calculando:
Então:
Calculando os termos dentro do parêntese:
Então:
Resposta
O polinômio de segundo grau que aproxima
no intervalo
pelo método dos m��nimos quadrados usando polinômios ortonormais é:
Simplificando: