Aproximar, pelo método dos mínimos quadrados, a função
no intervalo
por
(b) um polinômio do segundo grau
usando polinômios ortonormais.
(b) um polinômio do segundo grau
usando polinômios ortonormais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para aproximar a função
no intervalo
usando o método dos mínimos quadrados. O conteúdo envolvido aqui são os polinômios ortonormais e a aproximação por mínimos quadrados. Vamos precisar entender como construir uma base ortonormal de polinômios e como utilizá-la para encontrar o polinômio de segundo grau que melhor aproxima
nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são polinômios ortonormais. São polinômios que são mutuamente ortogonais e cada um tem norma 1 em relação a um produto interno definido. No nosso caso, o produto interno será a integral do produto dos polinômios no intervalo
.
Passo 3
Vamos construir uma base ortonormal para polinômios de até segundo grau. Começamos com os polinômios básicos
,
e
, e aplicamos o processo de Gram-Schmidt para torná-los ortonormais.
Primeiro polinômio:
Para torná-lo ortonormal, calculamos sua norma:
Então, já está ortonormal.
Segundo polinômio:
Vamos ortogonalizar em relação a
:
Normalizamos:
Então:
Terceiro polinômio:
Ortogonalizamos em relação a
e
:
Calculando as integrais:
Então:
Normalizamos:
Então:
Passo 4
Agora que temos nossa base ortonormal
, podemos usar o método dos mínimos quadrados para encontrar o polinômio de segundo grau que melhor aproxima
.
A aproximação será:
Onde os coeficientes
são dados por:
Passo 5
Vamos calcular cada coeficiente:
Para
:
Como
, o termo correspondente é
.
Para
:
Vamos separar as integrais:
Calculando:
Então:
Para
:
Vamos expandir e calcular as integrais:
Calculando:
Então:
Calculando os termos dentro do parêntese:
Então:
Resposta
O polinômio de segundo grau que aproxima
no intervalo
pelo método dos m��nimos quadrados usando polinômios ortonormais é:
Simplificando:
Exercícios relacionados
Encontre o polinômio de grau 2 que aproxima a função
no intervalo
utilizando o produto escalar natural em
.
Sherlock Holmes é um renomado detetive de Londres que possui uma capacidade inigualável de dedução. Ele está investigando as pistas sobre o desaparecimento do anel de casamento de Elizabeth II. Ao seguir as pistas ele chegou em um estacionamento próximo ao palácio de Buckingham e encontrou, em um papel, anotações da hora e quantos carros estavam estacionados.
Horário (h) | 8 | 9 | 10 | 11 |
---|---|---|---|---|
Carros | 11 | 18 | 30 | 49 |
Além destas anotações, também estava escrito que o número da casa onde estará a próxima pista era o número de carros na metade da hora entre 10 h e 11h.
a) Utilizando sua incrível capacidade dedução ele pôde perceber que estes pontos formavam uma função exponencial na forma de . Obtenha uma aproximação, através do método dos mínimos quadrados, para estimar os valores de
e
desta função exponencial.
a) Utilizando sua incrível capacidade dedução ele pôde perceber que estes pontos formavam uma função exponencial na forma de
Aproximar, pelo método dos mínimos quadrados, a função
no intervalo
por
(a) uma reta
usando polinômios ortonormais.
(a) uma reta
usando polinômios ortonormais.
Ajuste um polinômio de grau 2 ao conjunto de pontos dados na tabela abaixo
|
-1 | 0 | 1 | 2 |
---|---|---|---|---|
|
0 | -1 | 0 | 7 |