Aproximar, pelo método dos mínimos quadrados, a função no intervalo por
(b) um polinômio do segundo grau
usando polinômios ortonormais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para aproximar a função no intervalo usando o método dos mínimos quadrados. O conteúdo envolvido aqui são os polinômios ortonormais e a aproximação por mínimos quadrados. Vamos precisar entender como construir uma base ortonormal de polinômios e como utilizá-la para encontrar o polinômio de segundo grau que melhor aproxima nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são polinômios ortonormais. São polinômios que são mutuamente ortogonais e cada um tem norma 1 em relação a um produto interno definido. No nosso caso, o produto interno será a integral do produto dos polinômios no intervalo .

Passo 3

Vamos construir uma base ortonormal para polinômios de até segundo grau. Começamos com os polinômios básicos , e , e aplicamos o processo de Gram-Schmidt para torná-los ortonormais.
Primeiro polinômio:
Para torná-lo ortonormal, calculamos sua norma:
Então, já está ortonormal.
Segundo polinômio:
Vamos ortogonalizar em relação a :
Normalizamos:
Então:
Terceiro polinômio:
Ortogonalizamos em relação a e :
Calculando as integrais:
Então:
Normalizamos:
Então:

Passo 4

Agora que temos nossa base ortonormal , podemos usar o método dos mínimos quadrados para encontrar o polinômio de segundo grau que melhor aproxima .
A aproximação será:
Onde os coeficientes são dados por:

Passo 5

Vamos calcular cada coeficiente:
Para :
Como , o termo correspondente é .
Para :
Vamos separar as integrais:
Calculando:
Então:
Para :
Vamos expandir e calcular as integrais:
Calculando:
Então:
Calculando os termos dentro do parêntese:
Então:

Resposta

O polinômio de segundo grau que aproxima no intervalo pelo método dos m��nimos quadrados usando polinômios ortonormais é:
Simplificando:

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Encontre o polinômio de grau 2 que aproxima a função no intervalo utilizando o produto escalar natural em .
Sherlock Holmes é um renomado detetive de Londres que possui uma capacidade inigualável de dedução. Ele está investigando as pistas sobre o desaparecimento do anel de casamento de Elizabeth II. Ao seguir as pistas ele chegou em um estacionamento próximo ao palácio de Buckingham e encontrou, em um papel, anotações da hora e quantos carros estavam estacionados.
Horário (h) 8 9 10 11
Carros 11 18 30 49
Além destas anotações, também estava escrito que o número da casa onde estará a próxima pista era o número de carros na metade da hora entre 10 h e 11h.
a) Utilizando sua incrível capacidade dedução ele pôde perceber que estes pontos formavam uma função exponencial na forma de . Obtenha uma aproximação, através do método dos mínimos quadrados, para estimar os valores de e desta função exponencial.
Aproximar, pelo método dos mínimos quadrados, a função no intervalo por
(a) uma reta
usando polinômios ortonormais.
Ajuste um polinômio de grau 2 ao conjunto de pontos dados na tabela abaixo
-1 0 1 2
0 -1 0 7