Aproximar, pelo método dos mínimos quadrados, a função f(x)=x^3+4 no intervalo [0,1] por
(b) um polinômio do segundo grau
usando polinômios ortonormais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para aproximar a função no intervalo usando o método dos mínimos quadrados. O conteúdo envolvido aqui são os polinômios ortonormais e a aproximação por mínimos quadrados. Vamos precisar entender como construir uma base ortonormal de polinômios e como utilizá-la para encontrar o polinômio de segundo grau que melhor aproxima nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são polinômios ortonormais. São polinômios que são mutuamente ortogonais e cada um tem norma 1 em relação a um produto interno definido. No nosso caso, o produto interno será a integral do produto dos polinômios no intervalo .

Passo 3

Vamos construir uma base ortonormal para polinômios de até segundo grau. Começamos com os polinômios básicos phi0(x) = 1 , | phi0 | = raiz integral0^1 1^2 dx = raiz1 = 1 e phi1(x) = x , e aplicamos o processo de Gram-Schmidt para torná-los ortonormais.
Primeiro polinômio:
phi1(x) = x - integral0^1 x cdot 1 dx integral0^1 1^2 dx cdot 1 = x - 1/21 = x - 12
Para torná-lo ortonormal, calculamos sua norma:
| phi1 | = raiz integral0^1 ( x - 12 )^2 dx = raiz 112 = 12raiz3
Então, já está ortonormal.
Segundo polinômio:
e1(x) = phi1(x) | phi1 | = 2raiz3 ( x - 12 )
Vamos ortogonalizar em relação a phi2(x) = x^2 :
phi2(x) = x^2 - integral0^1 x^2 cdot 1 dx integral0^1 1^2 dx cdot 1 - integral0^1 x^2 cdot (x - 12) dx integral0^1 ( x - 12 )^2 dx ( x - 12 )
Normalizamos:
integral0^1 x^2 dx = 13
Então:
integral0^1 x^3 dx = 14
Terceiro polinômio:
integral0^1 ( x - 12 )^2 dx = 112
Ortogonalizamos em relação a phi2(x) = x^2 - 13 - 14 - 16 112 ( x - 12 ) = x^2 - 13 - 112 cdot 12 ( x - 12 ) = x^2 - 13 - ( x - 12 ) e phi2(x) = x^2 - x + 16 :
| phi2 | = raiz integral0^1 ( x^2 - x + 16 )^2 dx = raiz 1180 = 16raiz5
Calculando as integrais:
e2(x) = 6raiz5 ( x^2 - x + 16 )
Então:
Normalizamos:
Então:

Passo 4

Agora que temos nossa base ortonormal P2(x) = c0 e0(x) + c1 e1(x) + c2 e2(x) , podemos usar o método dos mínimos quadrados para encontrar o polinômio de segundo grau que melhor aproxima ci = integral0^1 f(x) ei(x) dx .
A aproximação será:
Onde os coeficientes são dados por:

Passo 5

Vamos calcular cada coeficiente:
Para c0 = integral0^1 (x^3 + 4) cdot 1 dx = integral0^1 x^3 dx + integral0^1 4 dx = 14 + 4 = 174 :
c1 = integral0^1 (x^3 + 4) cdot 2raiz3 ( x - 12 ) dx
Como c1 = 2raiz3 [ integral0^1 x^4 dx - 12 integral0^1 x^3 dx + 4 integral0^1 x dx - 2 integral0^1 12 dx ] , o termo correspondente é integral0^1 x^4 dx = 15 .
Para integral0^1 x^3 dx = 14 :
integral0^1 x dx = 12
Vamos separar as integrais:
integral0^1 12 dx = 12
Calculando:
c1 = 2raiz3 ( 15 - 18 + 4 cdot 12 - 1 ) = 2raiz3 ( 340 + 2 - 1 ) = 2raiz3 ( 340 + 1 ) = 2raiz3 cdot 4340 = 43raiz320
c2 = integral0^1 (x^3 + 4) cdot 6raiz5 ( x^2 - x + 16 ) dx
c2 = 6raiz5 [ integral0^1 x^5 dx - integral0^1 x^4 dx + 16 integral0^1 x^3 dx + 4 integral0^1 x^2 dx - 4 integral0^1 x dx + 46 integral0^1 dx ]
integral0^1 x^5 dx = 16
Então:
integral0^1 x^4 dx = 15
Para integral0^1 x^3 dx = 14 :
integral0^1 x^2 dx = 13
Vamos expandir e calcular as integrais:
integral0^1 x dx = 12
Calculando:
integral0^1 dx = 1
c2 = 6raiz5 ( 16 - 15 + 124 + 43 - 2 + 23 )
16 - 15 = -130
-130 + 124 = -4 + 5120 = 1120
1120 + 43 = 1120 + 160120 = 161120
161120 - 2 = 161120 - 240120 = -79120
Então:
-79120 + 23 = -79120 + 80120 = 1120
Calculando os termos dentro do parêntese:
c2 = 6raiz5 cdot 1120 = raiz520
Então:

Resposta

O polinômio de segundo grau que aproxima P2(x) = 174 cdot 1 + 43raiz320 cdot 2raiz3 ( x - 12 ) + raiz520 cdot 6raiz5 ( x^2 - x + 16 ) no intervalo P2(x) = 174 + 4310 ( x - 12 ) + 64 ( x^2 - x + 16 ) pelo método dos m��nimos quadrados usando polinômios ortonormais é:
P2(x) = 174 + 4310x - 4320 + 32x^2 - 32x + 14
Simplificando:
P2(x) = 32x^2 + ( 4310 - 32 )x + ( 174 - 4320 + 14 )
P2(x) = 32x^2 + 1420x + 1520
P2(x) = 32x^2 + 710x + 34

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