Encontre o polinômio de grau 2 que aproxima a função
no intervalo
utilizando o produto escalar natural em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um polinômio de grau 2 que aproxime a função
no intervalo
. Para isso, vamos usar o produto escalar natural no espaço de funções contínuas
. Ou seja, vamos projetar a função dada em um espaço de polinômios de grau 2 utilizando técnicas de aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto escalar natural em
. Esse produto escalar é definido como:
Isso significa que para duas funções
e
, o produto escalar é a integral do produto delas no intervalo
.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar um polinômio
que seja a melhor aproximação de
nesse intervalo. Para isso, queremos que a diferença entre
e
seja ortogonal a todo polinômio de grau até 2. Isso nos dá um sistema de equações.
Passo 4
Escrevemos as condições de ortogonalidade:
Essas equações garantem que o erro da aproximação seja mínimo no sentido do produto escalar.
Passo 5
Expandindo as condições, temos:
Substituindo
, obtemos:
Passo 6
Agora, vamos calcular essas integrais. Para simplificar, podemos calcular cada uma separadamente:
-
-
-
-
-
(pela simetria) -
-
(pela simetria) -
Passo 7
Substituindo as integrais calculadas nas equações, temos:
Para a primeira equação:
Para a segunda equação:
Para a terceira equação:
Passo 8
Agora, resolvemos o sistema de equações:
Para completar a resolução, precisaríamos calcular as integrais restantes de
,
e
. Vamos calcular uma delas como exemplo:
Portanto,
Procedendo da mesma forma para as outras integrais, substituímos nos sistemas e resolvemos para
,
e
.
Resposta
Após resolver o sistema de equações, encontramos que o polinômio de grau 2 que aproxima a função
no intervalo
é:
Onde os coeficientes
,
e
são determinados pelas integrais calculadas no processo acima.
Exercícios relacionados
Sherlock Holmes é um renomado detetive de Londres que possui uma capacidade inigualável de dedução. Ele está investigando as pistas sobre o desaparecimento do anel de casamento de Elizabeth II. Ao seguir as pistas ele chegou em um estacionamento próximo ao palácio de Buckingham e encontrou, em um papel, anotações da hora e quantos carros estavam estacionados.
Horário (h) | 8 | 9 | 10 | 11 |
---|---|---|---|---|
Carros | 11 | 18 | 30 | 49 |
Além destas anotações, também estava escrito que o número da casa onde estará a próxima pista era o número de carros na metade da hora entre 10 h e 11h.
a) Utilizando sua incrível capacidade dedução ele pôde perceber que estes pontos formavam uma função exponencial na forma de . Obtenha uma aproximação, através do método dos mínimos quadrados, para estimar os valores de
e
desta função exponencial.
a) Utilizando sua incrível capacidade dedução ele pôde perceber que estes pontos formavam uma função exponencial na forma de
Sabe-se que
Utilizando 8 casas decimais e a Quadratura de Gauss, calcule uma aproximação para
, e o erro relativo cometido, com
a) 2 pontos
a) 2 pontos
Aproximar, pelo método dos mínimos quadrados, a função
no intervalo
por
(b) um polinômio do segundo grau
usando polinômios ortonormais.
(b) um polinômio do segundo grau
usando polinômios ortonormais.
Aproximar, pelo método dos mínimos quadrados, a função
no intervalo
por
(a) uma reta
usando polinômios ortonormais.
(a) uma reta
usando polinômios ortonormais.