Encontre o polinômio de grau 2 que aproxima a função
no intervalo
utilizando o produto escalar natural em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um polinômio de grau 2 que aproxime a função
no intervalo
. Para isso, vamos usar o produto escalar natural no espaço de funções contínuas
. Ou seja, vamos projetar a função dada em um espaço de polinômios de grau 2 utilizando técnicas de aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto escalar natural em
. Esse produto escalar é definido como:
Isso significa que para duas funções
e
, o produto escalar é a integral do produto delas no intervalo
.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar um polinômio
que seja a melhor aproximação de
nesse intervalo. Para isso, queremos que a diferença entre
e
seja ortogonal a todo polinômio de grau até 2. Isso nos dá um sistema de equações.
Passo 4
Escrevemos as condições de ortogonalidade:
Essas equações garantem que o erro da aproximação seja mínimo no sentido do produto escalar.
Passo 5
Expandindo as condições, temos:
Substituindo
, obtemos:
Passo 6
Agora, vamos calcular essas integrais. Para simplificar, podemos calcular cada uma separadamente:
-
-
-
-
-
(pela simetria) -
-
(pela simetria) -
Passo 7
Substituindo as integrais calculadas nas equações, temos:
Para a primeira equação:
Para a segunda equação:
Para a terceira equação:
Passo 8
Agora, resolvemos o sistema de equações:
Para completar a resolução, precisaríamos calcular as integrais restantes de
,
e
. Vamos calcular uma delas como exemplo:
Portanto,
Procedendo da mesma forma para as outras integrais, substituímos nos sistemas e resolvemos para
,
e
.
Resposta
Após resolver o sistema de equações, encontramos que o polinômio de grau 2 que aproxima a função
no intervalo
é:
Onde os coeficientes
,
e
são determinados pelas integrais calculadas no processo acima.