Encontre o polinômio de grau 2 que aproxima a função no intervalo utilizando o produto escalar natural em .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um polinômio de grau 2 que aproxime a função no intervalo . Para isso, vamos usar o produto escalar natural no espaço de funções contínuas . Ou seja, vamos projetar a função dada em um espaço de polinômios de grau 2 utilizando técnicas de aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto escalar natural em . Esse produto escalar é definido como:
Isso significa que para duas funções e , o produto escalar é a integral do produto delas no intervalo .

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar um polinômio que seja a melhor aproximação de nesse intervalo. Para isso, queremos que a diferença entre e seja ortogonal a todo polinômio de grau até 2. Isso nos dá um sistema de equações.

Passo 4

Escrevemos as condições de ortogonalidade:
Essas equações garantem que o erro da aproximação seja mínimo no sentido do produto escalar.

Passo 5

Expandindo as condições, temos:
Substituindo , obtemos:

Passo 6

Agora, vamos calcular essas integrais. Para simplificar, podemos calcular cada uma separadamente:
  1. (pela simetria)
  2. (pela simetria)

Passo 7

Substituindo as integrais calculadas nas equações, temos:
Para a primeira equação:
Para a segunda equação:
Para a terceira equação:

Passo 8

Agora, resolvemos o sistema de equações:
Para completar a resolução, precisaríamos calcular as integrais restantes de , e . Vamos calcular uma delas como exemplo:
Portanto,
Procedendo da mesma forma para as outras integrais, substituímos nos sistemas e resolvemos para , e .

Resposta

Após resolver o sistema de equações, encontramos que o polinômio de grau 2 que aproxima a função no intervalo é:
Onde os coeficientes , e são determinados pelas integrais calculadas no processo acima.

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Horário (h) 8 9 10 11
Carros 11 18 30 49
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Aproximar, pelo método dos mínimos quadrados, a função no intervalo por
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