Aproximar, pelo método dos mínimos quadrados, a função
no intervalo
por
(a) uma reta
usando polinômios ortonormais.
(a) uma reta
usando polinômios ortonormais.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para aproximar, pelo método dos mínimos quadrados, a função
no intervalo
por uma reta, usando polinômios ortonormais. Isso envolve encontrar a melhor linha que “encaixe” na função
de forma que a soma dos quadrados das diferenças entre
e a reta seja a menor possível. Para isso, vamos usar o conceito de polinômios ortonormais e o método dos mínimos quadrados.
Passo 2
Primeiro, precisamos definir uma base de polinômios ortonormais no intervalo
. No caso de uma reta, nossa base terá dois polinômios:
e
. Normalmente, escolhemos
e
para tornar os polinômios ortonormais neste intervalo.
Passo 3
Agora, queremos expressar a reta
como uma combinação linear desses polinômios:
onde
e
são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 4
Para encontrar
e
, usamos a propriedade da ortonormalidade, que nos diz que:
Então, calculamos
e
usando as integrais correspondentes.
Passo 5
Calculando
:
Passo 6
Calculando
:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 7
Primeiro, distribua os termos dentro da integral:
Passo 8
Calculando a primeira integral:
Passo 9
Calculando a segunda integral:
Passo 10
Agora, somamos os resultados das integrais:
Resposta
A reta que aproxima
pelo método dos mínimos quadrados no intervalo
é:
Simplificando: