Aproximar, pelo método dos mínimos quadrados, a função f(x)=x^3+4 no intervalo [0,1] por
(a) uma reta
usando polinômios ortonormais.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para aproximar, pelo método dos mínimos quadrados, a função no intervalo por uma reta, usando polinômios ortonormais. Isso envolve encontrar a melhor linha que “encaixe” na função de forma que a soma dos quadrados das diferenças entre e a reta seja a menor possível. Para isso, vamos usar o conceito de polinômios ortonormais e o método dos mínimos quadrados.

Passo 2

Primeiro, precisamos definir uma base de polinômios ortonormais no intervalo . No caso de uma reta, nossa base terá dois polinômios: e . Normalmente, escolhemos e para tornar os polinômios ortonormais neste intervalo.

Passo 3

Agora, queremos expressar a reta L(x) = a0 p0(x) + a1 p1(x) como uma combinação linear desses polinômios:
onde e são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar ai = integral0^1 f(x) pi(x) , dx e , usamos a propriedade da ortonormalidade, que nos diz que:
Então, calculamos e usando as integrais correspondentes.

Passo 5

Calculando a0 = integral0^1 (x^3 + 4) cdot 1 , dx = integral0^1 x^3 , dx + integral0^1 4 , dx = [x^44]0^1 + [4x]0^1 = 14 + 4 = 174 :

Passo 6

Calculando a1 = integral0^1 (x^3 + 4) cdot raiz12(x - 0.5) , dx :
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 7

Primeiro, distribua os termos dentro da integral:
a1 = raiz12 ( integral0^1 x^3(x - 0.5) , dx + integral0^1 4(x - 0.5) , dx )

Passo 8

Calculando a primeira integral:
integral0^1 x^4 - 0.5x^3 , dx = [x^55 - 0.5x^44]0^1 = 15 - 0.54 = 15 - 18 = 8 - 540 = 340

Passo 9

Calculando a segunda integral:
integral0^1 4x - 2 , dx = [2x^2 - 2x]0^1 = 2(1)^2 - 2(1) - (0 - 0) = 2 - 2 = 0

Passo 10

Agora, somamos os resultados das integrais:
a1 = raiz12 ( 340 + 0 ) = raiz12 cdot 340 = 3raiz1240 = 3 cdot 2raiz340 = 6raiz340 = 3raiz320

Resposta

A reta que aproxima L(x) = 174 cdot 1 + 3raiz320 cdot raiz12(x - 0.5) pelo método dos mínimos quadrados no intervalo L(x) = 174 + 3raiz320 cdot raiz12(x - 0.5) é:
Simplificando:

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