Aproximar, pelo método dos mínimos quadrados, a função no intervalo por
(a) uma reta
usando polinômios ortonormais.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para aproximar, pelo método dos mínimos quadrados, a função no intervalo por uma reta, usando polinômios ortonormais. Isso envolve encontrar a melhor linha que “encaixe” na função de forma que a soma dos quadrados das diferenças entre e a reta seja a menor possível. Para isso, vamos usar o conceito de polinômios ortonormais e o método dos mínimos quadrados.

Passo 2

Primeiro, precisamos definir uma base de polinômios ortonormais no intervalo . No caso de uma reta, nossa base terá dois polinômios: e . Normalmente, escolhemos e para tornar os polinômios ortonormais neste intervalo.

Passo 3

Agora, queremos expressar a reta como uma combinação linear desses polinômios:
onde e são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar e , usamos a propriedade da ortonormalidade, que nos diz que:
Então, calculamos e usando as integrais correspondentes.

Passo 5

Calculando :

Passo 6

Calculando :
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 7

Primeiro, distribua os termos dentro da integral:

Passo 8

Calculando a primeira integral:

Passo 9

Calculando a segunda integral:

Passo 10

Agora, somamos os resultados das integrais:

Resposta

A reta que aproxima pelo método dos mínimos quadrados no intervalo é:
Simplificando:

Exercícios relacionados

Aproximar, pelo método dos mínimos quadrados, a função no intervalo por
(b) um polinômio do segundo grau
usando polinômios ortonormais.
Encontre o polinômio de grau 2 que aproxima a função no intervalo utilizando o produto escalar natural em .
Ajuste um polinômio de grau 2 ao conjunto de pontos dados na tabela abaixo
-1 0 1 2
0 -1 0 7
Demonstre. Sejam um conjunto ortonormal num espaço vetorial com produto interno, e seja qualquer. Então
para quaisquer .