Sherlock Holmes é um renomado detetive de Londres que possui uma capacidade inigualável de dedução. Ele está investigando as pistas sobre o desaparecimento do anel de casamento de Elizabeth II. Ao seguir as pistas ele chegou em um estacionamento próximo ao palácio de Buckingham e encontrou, em um papel, anotações da hora e quantos carros estavam estacionados.
Horário (h) | 8 | 9 | 10 | 11 |
---|---|---|---|---|
Carros | 11 | 18 | 30 | 49 |
Além destas anotações, também estava escrito que o número da casa onde estará a próxima pista era o número de carros na metade da hora entre 10 h e 11h.
a) Utilizando sua incrível capacidade dedução ele pôde perceber que estes pontos formavam uma função exponencial na forma de . Obtenha uma aproximação, através do método dos mínimos quadrados, para estimar os valores de
e
desta função exponencial.
a) Utilizando sua incrível capacidade dedução ele pôde perceber que estes pontos formavam uma função exponencial na forma de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um desafio do Sherlock Holmes: descobrir onde está a próxima pista com base no número de carros estacionados a cada hora. O Sherlock percebeu que esses números seguem uma função exponencial, do tipo
. Nosso objetivo aqui é encontrar os valores de
e
usando o método dos mínimos quadrados, que é uma técnica para ajustar melhor a curva aos dados que temos.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
Horário (h) | 8 | 9 | 10 | 11 |
---|---|---|---|---|
Carros | 11 | 18 | 30 | 49 |
Como a função é exponencial, vamos transformar isso para facilitar os cálculos. Tiramos o logaritmo natural dos números de carros para linearizar a relação. Ou seja, se
, então:
Isso transforma nossa equação exponencial em uma equação linear, onde podemos aplicar o método dos mínimos quadrados.
Passo 3
Vamos transformar os números de carros usando o logaritmo natural:
Horário (h) | 8 | 9 | 10 | 11 |
---|---|---|---|---|
Carros | 11 | 18 | 30 | 49 |
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Calculando os valores:
Passo 4
Agora, queremos ajustar uma linha do tipo
aos nossos pontos transformados
, onde
.
Para aplicar os mínimos quadrados, precisamos calcular algumas somas:
O número de pontos
.
Passo 5
Agora, usamos as fórmulas do método dos mínimos quadrados para encontrar
e
:
Substituindo os valores:
Passo 6
Lembrando que
, então para encontrar
:
Resposta
Aproximadamente, a função exponencial que melhor se ajusta aos dados é: