Sherlock Holmes é um renomado detetive de Londres que possui uma capacidade inigualável de dedução. Ele está investigando as pistas sobre o desaparecimento do anel de casamento de Elizabeth II. Ao seguir as pistas ele chegou em um estacionamento próximo ao palácio de Buckingham e encontrou, em um papel, anotações da hora e quantos carros estavam estacionados.
Horário (h) 8 9 10 11
Carros 11 18 30 49
Além destas anotações, também estava escrito que o número da casa onde estará a próxima pista era o número de carros na metade da hora entre 10 h e 11h.
a) Utilizando sua incrível capacidade dedução ele pôde perceber que estes pontos formavam uma função exponencial na forma de u(x)=a e^b x. Obtenha uma aproximação, através do método dos mínimos quadrados, para estimar os valores de a e b desta função exponencial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um desafio do Sherlock Holmes: descobrir onde está a próxima pista com base no número de carros estacionados a cada hora. O Sherlock percebeu que esses números seguem uma função exponencial, do tipo . Nosso objetivo aqui é encontrar os valores de e usando o método dos mínimos quadrados, que é uma técnica para ajustar melhor a curva aos dados que temos.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
Horário (h) 8 9 10 11
Carros 11 18 30 49
Como a função é exponencial, vamos transformar isso para facilitar os cálculos. Tiramos o logaritmo natural dos números de carros para linearizar a relação. Ou seja, se ln(u(x)) = ln(a) + b x , então:
Isso transforma nossa equação exponencial em uma equação linear, onde podemos aplicar o método dos mínimos quadrados.

Passo 3

Vamos transformar os números de carros usando o logaritmo natural:
Horário (h) 8 9 10 11
Carros 11 18 30 49
ln(11) approx 2.398 ln(18) approx 2.890 ln(30) approx 3.401 ln(49) approx 3.892
Calculando os valores:

Passo 4

Agora, queremos ajustar uma linha do tipo Sx = 8 + 9 + 10 + 11 = 38 aos nossos pontos transformados Sy = 2.398 + 2.890 + 3.401 + 3.892 = 12.581 , onde Sxx = 8^2 + 9^2 + 10^2 + 11^2 = 64 + 81 + 100 + 121 = 366 .
Para aplicar os mínimos quadrados, precisamos calcular algumas somas:
Sxy = 8 times 2.398 + 9 times 2.890 + 10 times 3.401 + 11 times 3.892 approx 19.184 + 26.010 + 34.010 + 42.812 = 122.016
O número de pontos .

Passo 5

Agora, usamos as fórmulas do método dos mínimos quadrados para encontrar b = n Sxy - Sx Syn Sxx - (Sx)^2 e c = Sy - b Sxn :
b = 4 times 122.016 - 38 times 12.5814 times 366 - 38^2 = 488.064 - 478.7581464 - 1444 = 9.30620 approx 0.4653
c = 12.581 - 0.4653 times 384 = 12.581 - 17.72344 = -5.14244 approx -1.2856
Substituindo os valores:

Passo 6

Lembrando que a = e^c = e^-1.2856 approx 0.2774 , então para encontrar :

Resposta

Aproximadamente, a função exponencial que melhor se ajusta aos dados é:
u(x) approx 0.2774 , e^0.4653, x

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