Sherlock Holmes é um renomado detetive de Londres que possui uma capacidade inigualável de dedução. Ele está investigando as pistas sobre o desaparecimento do anel de casamento de Elizabeth II. Ao seguir as pistas ele chegou em um estacionamento próximo ao palácio de Buckingham e encontrou, em um papel, anotações da hora e quantos carros estavam estacionados.
Horário (h) 8 9 10 11
Carros 11 18 30 49
Além destas anotações, também estava escrito que o número da casa onde estará a próxima pista era o número de carros na metade da hora entre 10 h e 11h.
a) Utilizando sua incrível capacidade dedução ele pôde perceber que estes pontos formavam uma função exponencial na forma de . Obtenha uma aproximação, através do método dos mínimos quadrados, para estimar os valores de e desta função exponencial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um desafio do Sherlock Holmes: descobrir onde está a próxima pista com base no número de carros estacionados a cada hora. O Sherlock percebeu que esses números seguem uma função exponencial, do tipo . Nosso objetivo aqui é encontrar os valores de e usando o método dos mínimos quadrados, que é uma técnica para ajustar melhor a curva aos dados que temos.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
Horário (h) 8 9 10 11
Carros 11 18 30 49
Como a função é exponencial, vamos transformar isso para facilitar os cálculos. Tiramos o logaritmo natural dos números de carros para linearizar a relação. Ou seja, se , então:
Isso transforma nossa equação exponencial em uma equação linear, onde podemos aplicar o método dos mínimos quadrados.

Passo 3

Vamos transformar os números de carros usando o logaritmo natural:
Horário (h) 8 9 10 11
Carros 11 18 30 49
Calculando os valores:

Passo 4

Agora, queremos ajustar uma linha do tipo aos nossos pontos transformados , onde .
Para aplicar os mínimos quadrados, precisamos calcular algumas somas:
O número de pontos .

Passo 5

Agora, usamos as fórmulas do método dos mínimos quadrados para encontrar e :
Substituindo os valores:

Passo 6

Lembrando que , então para encontrar :

Resposta

Aproximadamente, a função exponencial que melhor se ajusta aos dados é:

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Sabe-se que
Utilizando 8 casas decimais e a Quadratura de Gauss, calcule uma aproximação para , e o erro relativo cometido, com
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Chegando no carro, John Watson, rapidamente escutou um barulho vindo do porta-malas deste carro e o abriu rapidamente, porém ao abri-lo foi ativado uma bomba que estava amarrada na irmã de Catherine Elizabeth Middleton. Ao desamarrar a boca da moça, ela disse que a pista estava no porta-luvas do carro. No bilhete dizia que para desarmar a bomba era necessário inserir um numero de 3 algarismos. Este era a solução da seguinte integral com erro menor que :
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Encontre o polinômio de grau 2 que aproxima a função no intervalo utilizando o produto escalar natural em .
Aproximar, pelo método dos mínimos quadrados, a função no intervalo por
(b) um polinômio do segundo grau
usando polinômios ortonormais.