Aproximar, pelo método dos mínimos quadrados, a função no intervalo por uma reta. Considere a base formada pelos polinômios ortonormais e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para aproximar a função no intervalo usando o método dos mínimos quadrados, mas em vez de encontrar uma reta qualquer, a gente vai usar uma base de polinômios ortonormais específica: e .
Então, o que vamos precisar saber para resolver isso é:
Método dos Mínimos Quadrados: Para encontrar a melhor aproximação linear.
Polinômios Ortonormais: Que facilitam os cálculos porque são perpendiculares e têm norma 1.
Cálculo de Integrais: Para encontrar os coeficientes que vão multiplicar os polinômios da base.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa aproximar por uma reta usando essa base. Basicamente, queremos encontrar uma combinação linear dos polinômios e que fique o mais próximo possível de no sentido dos mínimos quadrados. Isso quer dizer que a diferença entre e a nossa aproximação será minimizada.
Matematicamente, nossa aproximação vai ser:
onde e são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Para encontrar e , usamos a propriedade das bases ortonormais. Isso facilita porque os coeficientes podem ser calculados simplesmente como o produto interno entre e cada polinômio da base.
Ou seja:
Passo 4
Vamos calcular primeiro:
Agora, calculando a integral:
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular :
Calculando as integrais separadamente:
Então:
Passo 6
Com os valores de e encontrados, podemos escrever a aproximação linear :
Simplificando:
Resposta
A aproximação de pelo método dos mínimos quadrados no intervalo é: