Aproximar, pelo método dos mínimos quadrados, a função f(x)=x^3+4 no intervalo [0 ; 1] por uma reta. Considere a base formada pelos polinômios ortonormais g0(x)=raiz22 e g1(x)=raiz62 x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para aproximar a função no intervalo usando o método dos mínimos quadrados, mas em vez de encontrar uma reta qualquer, a gente vai usar uma base de polinômios ortonormais específica: e .
Então, o que vamos precisar saber para resolver isso é:
  • Método dos Mínimos Quadrados: Para encontrar a melhor aproximação linear.
  • Polinômios Ortonormais: Que facilitam os cálculos porque são perpendiculares e têm norma 1.
  • Cálculo de Integrais: Para encontrar os coeficientes que vão multiplicar os polinômios da base.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa aproximar P(x) = c0 g0(x) + c1 g1(x) por uma reta usando essa base. Basicamente, queremos encontrar uma combinação linear dos polinômios e que fique o mais próximo possível de no sentido dos mínimos quadrados. Isso quer dizer que a diferença entre e a nossa aproximação será minimizada.
Matematicamente, nossa aproximação vai ser:
onde e são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar c0 = lang<= f, g0 rang<= = integral0^1 f(x) g0(x) , dx e c1 = lang<= f, g1 rang<= = integral0^1 f(x) g1(x) , dx , usamos a propriedade das bases ortonormais. Isso facilita porque os coeficientes podem ser calculados simplesmente como o produto interno entre e cada polinômio da base.
Ou seja:

Passo 4

Vamos calcular c0 = integral0^1 (x^3 + 4) cdot raiz22 , dx = raiz22 integral0^1 (x^3 + 4) , dx primeiro:
integral0^1 x^3 , dx = [ x^44 ]0^1 = 14
Agora, calculando a integral:
integral0^1 4 , dx = 4x g|0^1 = 4
c0 = raiz22 ( 14 + 4 ) = raiz22 cdot 174 = 17raiz28
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular c1 = integral0^1 (x^3 + 4) cdot raiz62 x , dx = raiz62 integral0^1 (x^4 + 4x) , dx :
integral0^1 x^4 , dx = [ x^55 ]0^1 = 15
Calculando as integrais separadamente:
integral0^1 4x , dx = 4 [ x^22 ]0^1 = 4 cdot 12 = 2
c1 = raiz62 ( 15 + 2 ) = raiz62 cdot 115 = 11raiz610
Então:

Passo 6

Com os valores de P(x) = 17raiz28 cdot raiz22 + 11raiz610 cdot raiz62 x e P(x) = 17 cdot 216 + 11 cdot 620 x = 3416 + 6620 x = 178 + 3310 x encontrados, podemos escrever a aproximação linear :
Simplificando:

Resposta

A aproximação de P(x) = 178 + 3310 x pelo método dos mínimos quadrados no intervalo é:

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