Enumere (calcular quantas e de que tipo são) as raízes dos seguintes polinômios:
p(x)=4 x^3+1.5 x^2-5.75 x+4.37

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício que pede para encontrar quantas raízes um polinômio tem e de que tipo elas são. O polinômio que vamos analisar é:
p(x) = 4x^3 + 1.5x^2 - 5.75x + 4.37
Vamos usar conceitos de álgebra relacionados a polinômios e suas raízes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que o Teorema Fundamental da Álgebra nos diz que todo polinômio de grau tem exatamente raízes no conjunto dos números complexos. Essas raízes podem ser reais ou complexas.
No nosso caso, o polinômio é de terceiro grau ( ), então ele tem três raízes no total.

Passo 3

Agora, vamos pensar sobre o tipo dessas raízes. Como os coeficientes do polinômio são números reais, as raízes complexas, se existirem, sempre vêm em pares conjugados. Isso significa que podemos ter:
  • Três raízes reais
  • Uma raiz real e um par de raízes complexas

Passo 4

Para determinar exatamente de que tipo são as raízes, precisaríamos resolver o polinômio, que pode envolver métodos como fatoração, uso da fórmula de Cardano para polinômios cúbicos ou métodos numéricos. Contudo, sem resolver completamente, sabemos que:
  • Existe pelo menos uma raiz real.
  • As outras duas raízes podem ser reais ou complexas.

Passo 5

Resumindo:
O polinômio tem três raízes no total. Destas, pelo menos uma é real, e as outras duas podem ser reais ou formar um par de raízes complexas.

Resposta

O polinômio possui três raízes: pelo menos uma real e duas que podem ser reais ou formar um par de raízes complexas.

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