Enumere (calcular quantas e de que tipo são) as raízes dos seguintes polinômios:
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um exercício que pede para encontrar quantas raízes um polinômio tem e de que tipo elas são. O polinômio que vamos analisar é:
Vamos usar conceitos de álgebra relacionados a polinômios e suas raízes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que o Teorema Fundamental da Álgebra nos diz que todo polinômio de grau
tem exatamente
raízes no conjunto dos números complexos. Essas raízes podem ser reais ou complexas.
No nosso caso, o polinômio é de terceiro grau (
), então ele tem três raízes no total.
Passo 3
Agora, vamos pensar sobre o tipo dessas raízes. Como os coeficientes do polinômio são números reais, as raízes complexas, se existirem, sempre vêm em pares conjugados. Isso significa que podemos ter:
- Três raízes reais
- Uma raiz real e um par de raízes complexas
Passo 4
Para determinar exatamente de que tipo são as raízes, precisaríamos resolver o polinômio, que pode envolver métodos como fatoração, uso da fórmula de Cardano para polinômios cúbicos ou métodos numéricos. Contudo, sem resolver completamente, sabemos que:
- Existe pelo menos uma raiz real.
- As outras duas raízes podem ser reais ou complexas.
Passo 5
Resumindo:
O polinômio
tem três raízes no total. Destas, pelo menos uma é real, e as outras duas podem ser reais ou formar um par de raízes complexas.
Resposta
O polinômio
possui três raízes: pelo menos uma real e duas que podem ser reais ou formar um par de raízes complexas.