Suponha que três lagos são conectados em série:
LAGO
Volume,
2
4
3
Profundidade
3
7
3
Área,
0,667
0,571
1,000
Carga
ano
2000
4000
1000
Vazão,
/ano
1,0
1,0
1,0
Se a espécie química, sedimenta a uma velocidade de
ano e que que no instante
, as cargas são eliminadas, calcule os perfis de concentração nas seguintes situações:
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FERNANDO FERNANDES VIEIRA - DESA/UEPB
2024/1
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© A concentração inicial do lago 1 é de
, enquanto que no lago 2 e 3 as concentração são iguais a zero.
LAGO |
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Volume,
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2 | 4 | 3 |
Profundidade
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3 | 7 | 3 |
Área,
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0,667 | 0,571 | 1,000 |
Carga
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2000 | 4000 | 1000 |
Vazão,
|
1,0 | 1,0 | 1,0 |
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FERNANDO FERNANDES VIEIRA - DESA/UEPB
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© A concentração inicial do lago 1 é de
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos três lagos conectados em série, e precisamos descobrir como a concentração de uma espécie química se comporta ao longo do tempo, especialmente considerando que inicialmente o lago 1 tem uma concentração de
e os lagos 2 e 3 começam com concentração zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de hidrodinâmica e sedimentação, além de aplicar algumas fórmulas matemáticas para modelar a situação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa as lagos estarem conectados em série. Isso quer dizer que a água sai do lago 1 para o lago 2, e do lago 2 para o lago 3, sempre na mesma ordem. A vazão de água entre eles é constante, ou seja,
por ano para cada lago.
Passo 3
Agora, vamos considerar a sedimentação. A espécie química que estamos analisando sedimenta a uma velocidade de
. Isso significa que a espécie vai se depositar no fundo do lago a essa velocidade. Para modelar isso, usamos a taxa de sedimentação na equação de transporte da concentração.
Passo 4
Vamos estabelecer uma equação diferencial para a concentração
em cada lago
. A equação geral considerando a entrada, saída e a perda por sedimentação é:
Onde:
-
é a vazão ( /ano), -
é o volume do lago , -
é a concentração entrando no lago (do lago anterior), -
é a taxa de sedimentação ( , sendo a profundidade do lago).
Passo 5
Vamos calcular
para cada lago. Primeiro, precisamos encontrar
, a profundidade de cada lago:
- Lago 1:
- Lago 2:
- Lago 3:
Então, a taxa de sedimentação para cada lago é:
Calculando:
Passo 6
Agora, vamos montar as equações diferenciais para cada lago:
Para o Lago 1:
Para o Lago 2:
Para o Lago 3:
Essas equações representam como a concentração em cada lago muda ao longo do tempo, considerando a entrada de água do lago anterior, a saída para o próximo lago e a perda por sedimentação.
Passo 7
Vamos resolver essas equações diferencialmente. Começamos resolvendo para o Lago 1, que está desacelerando exponencialmente devido à saída e à sedimentação:
Onde
.
Substituindo os valores:
Passo 8
Agora, resolvemos para o Lago 2 usando a solução de
:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Integrando:
Passo 9
Por fim, resolvemos para o Lago 3 usando a solução de
:
Substituindo os valores e a expressão de
:
Isso resultaria em uma expressão mais complexa, que pode ser resolvida numericamente ou usando técnicas avançadas de cálculo.
Resposta
As concentrações nos lagos ao longo do tempo são dadas por:
Exercícios relacionados
Encontre
para as seguintes equações a diferença:
onde
Encontre
para as seguintes equações a diferença:
, condições iniciais
Suponha que três lagos são conectados em série:
LAGO |
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Volume,
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2 | 4 | 3 |
Profundidade
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3 | 7 | 3 |
Área,
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0,667 | 0,571 | 1,000 |
Carga
|
2000 | 4000 | 1000 |
Vazão,
|
1,0 | 1,0 | 1,0 |
Se a espécie química, sedimenta a uma velocidade de
ano e que que no instante
, as cargas são eliminadas, calcule os perfis de concentração nas seguintes situações:
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FERNANDO FERNANDES VIEIRA - DESA/UEPB 2024/1
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(b) Qual é o tempo de resposta de do lago 2
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(b) Qual é o tempo de resposta de
Aproximar, pelo método dos mínimos quadrados, a função
no intervalo
por uma reta. Considere a base formada pelos polinômios ortonormais
e
.