Suponha que três lagos são conectados em série:
LAGO |l|c|c|c| hline mu 0,95 m / t=0
Volume, cdot 2 4 3
Profundidade 15 mg / L 3 7 3
Área, 0,667 0,571 1,000
Carga ano 2000 4000 1000
Vazão, /ano 1,0 1,0 1,0
Se a espécie química, sedimenta a uma velocidade de ano e que que no instante , as cargas são eliminadas, calcule os perfis de concentração nas seguintes situações:
07:31
FERNANDO FERNANDES VIEIRA - DESA/UEPB 2024/1
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© A concentração inicial do lago 1 é de , enquanto que no lago 2 e 3 as concentração são iguais a zero.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos três lagos conectados em série, e precisamos descobrir como a concentração de uma espécie química se comporta ao longo do tempo, especialmente considerando que inicialmente o lago 1 tem uma concentração de e os lagos 2 e 3 começam com concentração zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de hidrodinâmica e sedimentação, além de aplicar algumas fórmulas matemáticas para modelar a situação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa as lagos estarem conectados em série. Isso quer dizer que a água sai do lago 1 para o lago 2, e do lago 2 para o lago 3, sempre na mesma ordem. A vazão de água entre eles é constante, ou seja, por ano para cada lago.

Passo 3

Agora, vamos considerar a sedimentação. A espécie química que estamos analisando sedimenta a uma velocidade de . Isso significa que a espécie vai se depositar no fundo do lago a essa velocidade. Para modelar isso, usamos a taxa de sedimentação na equação de transporte da concentração.

Passo 4

Vamos estabelecer uma equação diferencial para a concentração dCi(t)dt = QVi(Ci-1(t) - Ci(t)) - k Ci(t) em cada lago . A equação geral considerando a entrada, saída e a perda por sedimentação é:
Onde:
  • é a vazão ( /ano),
  • é o volume do lago ,
  • é a concentração entrando no lago (do lago anterior),
  • é a taxa de sedimentação ( , sendo a profundidade do lago).

Passo 5

Vamos calcular ki = 0,95 , m/anoDi para cada lago. Primeiro, precisamos encontrar , a profundidade de cada lago:
  • Lago 1:
  • Lago 2:
  • Lago 3:
Então, a taxa de sedimentação para cada lago é:
Calculando:

Passo 6

Agora, vamos montar as equações diferenciais para cada lago:
Para o Lago 1:
dC1(t)dt = -(QV1 + k1) C1(t)
Para o Lago 2:
dC2(t)dt = QV2 C1(t) - (QV2 + k2) C2(t)
Para o Lago 3:
dC3(t)dt = QV3 C2(t) - (QV3 + k3) C3(t)
Essas equações representam como a concentração em cada lago muda ao longo do tempo, considerando a entrada de água do lago anterior, a saída para o próximo lago e a perda por sedimentação.

Passo 7

Vamos resolver essas equações diferencialmente. Começamos resolvendo para o Lago 1, que está desacelerando exponencialmente devido à saída e à sedimentação:
C1(t) = C1(0) , e^-(QV1 + k1) t
Onde C1(t) = 15 , e^-(1 times 10^62 times 10^6 + 0,317) t = 15 , e^-(0,5 + 0,317) t = 15 , e^-0,817 t .
Substituindo os valores:

Passo 8

Agora, resolvemos para o Lago 2 usando a solução de C2(t) = QV2 integral0^t C1(tau) e^-(QV2 + k2)(t - tau) dtau :
C2(t) = 1 times 10^64 times 10^6 integral0^t 15 , e^-0,817 tau e^-(0,25 + 0,136)(t - tau) dtau
Substituindo os valores:
C2(t) = 0,25 times 15 integral0^t e^-0,817 tau e^-0,386 (t - tau) dtau = 3,75 integral0^t e^-0,817 tau -0,386 t + 0,386 tau dtau = 3,75 e^-0,386 t integral0^t e^-0,431 tau dtau
Simplificando:
C2(t) = 3,75 e^-0,386 t [ -10,431 e^-0,431 tau ]0^t = 3,750,431 e^-0,386 t (1 - e^-0,431 t) approx 8,7 e^-0,386 t (1 - e^-0,431 t)
Integrando:

Passo 9

Por fim, resolvemos para o Lago 3 usando a solução de C3(t) = QV3 integral0^t C2(tau) e^-(QV3 + k3)(t - tau) dtau :
C3(t) = 1 times 10^63 times 10^6 integral0^t 8,7 e^-0,386 tau (1 - e^-0,431 tau) e^-(0,333 + 0,317)(t - tau) dtau
Substituindo os valores e a expressão de :
Isso resultaria em uma expressão mais complexa, que pode ser resolvida numericamente ou usando técnicas avançadas de cálculo.

Resposta

As concentrações nos lagos ao longo do tempo são dadas por:
C1(t) = 15 , e^-0,817 , t , mg/L
C2(t) approx 8,7 , e^-0,386 , t (1 - e^-0,431 , t) , mg/L
C3(t) (solução numérica necessária) çãéá

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