Suponha que três lagos são conectados em série:
LAGO
Volume, 2 4 3
Profundidade 3 7 3
Área, 0,667 0,571 1,000
Carga ano 2000 4000 1000
Vazão, /ano 1,0 1,0 1,0
Se a espécie química, sedimenta a uma velocidade de ano e que que no instante , as cargas são eliminadas, calcule os perfis de concentração nas seguintes situações:
07:31
FERNANDO FERNANDES VIEIRA - DESA/UEPB 2024/1
57
© A concentração inicial do lago 1 é de , enquanto que no lago 2 e 3 as concentração são iguais a zero.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos três lagos conectados em série, e precisamos descobrir como a concentração de uma espécie química se comporta ao longo do tempo, especialmente considerando que inicialmente o lago 1 tem uma concentração de e os lagos 2 e 3 começam com concentração zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de hidrodinâmica e sedimentação, além de aplicar algumas fórmulas matemáticas para modelar a situação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa as lagos estarem conectados em série. Isso quer dizer que a água sai do lago 1 para o lago 2, e do lago 2 para o lago 3, sempre na mesma ordem. A vazão de água entre eles é constante, ou seja, por ano para cada lago.

Passo 3

Agora, vamos considerar a sedimentação. A espécie química que estamos analisando sedimenta a uma velocidade de . Isso significa que a espécie vai se depositar no fundo do lago a essa velocidade. Para modelar isso, usamos a taxa de sedimentação na equação de transporte da concentração.

Passo 4

Vamos estabelecer uma equação diferencial para a concentração em cada lago . A equação geral considerando a entrada, saída e a perda por sedimentação é:
Onde:
  • é a vazão ( /ano),
  • é o volume do lago ,
  • é a concentração entrando no lago (do lago anterior),
  • é a taxa de sedimentação ( , sendo a profundidade do lago).

Passo 5

Vamos calcular para cada lago. Primeiro, precisamos encontrar , a profundidade de cada lago:
  • Lago 1:
  • Lago 2:
  • Lago 3:
Então, a taxa de sedimentação para cada lago é:
Calculando:

Passo 6

Agora, vamos montar as equações diferenciais para cada lago:
Para o Lago 1:
Para o Lago 2:
Para o Lago 3:
Essas equações representam como a concentração em cada lago muda ao longo do tempo, considerando a entrada de água do lago anterior, a saída para o próximo lago e a perda por sedimentação.

Passo 7

Vamos resolver essas equações diferencialmente. Começamos resolvendo para o Lago 1, que está desacelerando exponencialmente devido à saída e à sedimentação:
Onde .
Substituindo os valores:

Passo 8

Agora, resolvemos para o Lago 2 usando a solução de :
Substituindo os valores:
Simplificando:
Integrando:

Passo 9

Por fim, resolvemos para o Lago 3 usando a solução de :
Substituindo os valores e a expressão de :
Isso resultaria em uma expressão mais complexa, que pode ser resolvida numericamente ou usando técnicas avançadas de cálculo.

Resposta

As concentrações nos lagos ao longo do tempo são dadas por:
çãéá

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