Enumere (calcular quantas e de que tipo são) as raízes dos seguintes polinômios:

Passo 1

Vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui. Temos o polinômio e precisamos descobrir quantas raízes ele tem e de que tipo são essas raízes. Para resolver isso, vamos usar algumas ferramentas da Álgebra, como o Teorema Fundamental da Álgebra e a Regra de Descartes.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o Teorema Fundamental da Álgebra. Esse teorema nos diz que todo polinômio de grau tem exatamente raízes no conjunto dos números complexos. No nosso caso, o polinômio é de quarto grau ( ), então ele tem 4 raízes no total. Essas raízes podem ser reais ou complexas.

Passo 3

Agora, para descobrir quantas dessas raízes são reais e quantas são complexas, vamos usar a Regra de Descartes. Essa regra nos ajuda a estimar o número de raízes reais positivas e negativas de um polinômio.
Primeiro, contamos as mudanças de sinal nos coeficientes de :
As mudanças de sinal são:
  • De para : 1 mudança
  • De para : 2ª mudança
  • De para : 3ª mudança
Então, temos 3 mudanças de sinal, o que significa que podem haver 3 ou 1 raiz real positiva.

Passo 4

Agora, vamos analisar as raízes negativas substituindo por no polinômio:
As mudanças de sinal em são:
  • De para : 1 mudança
  • De para : nenhuma mudança
  • De para : nenhuma mudança
Então, temos apenas 1 mudança de sinal, o que significa que há exatamente 1 raiz real negativa.

Passo 5

Agora, vamos juntar as informações:
  • Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, temos 4 raízes no total.
  • Pela Regra de Descartes, podemos ter 3 ou 1 raiz real positiva e 1 raiz real negativa.
Se considerarmos a possibilidade máxima de raízes reais positivas (3) e a raiz real negativa (1), totalizamos 4 raízes reais. Porém, para ter raízes complexas, elas sempre vêm em pares. Então, se tivermos menos de 4 raízes reais, haverá raízes complexas para completar as 4 raízes totais.

Resposta

O polinômio possui 4 raízes, sendo 2 reais e 2 complexas.

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Profundidade 3 7 3
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Carga ano 2000 4000 1000
Vazão, /ano 1,0 1,0 1,0
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07:31
FERNANDO FERNANDES VIEIRA - DESA/UEPB 2024/1
57
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