Enumere (calcular quantas e de que tipo são) as raízes dos seguintes polinômios:
Passo 1
Vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui. Temos o polinômio
e precisamos descobrir quantas raízes ele tem e de que tipo são essas raízes. Para resolver isso, vamos usar algumas ferramentas da Álgebra, como o Teorema Fundamental da Álgebra e a Regra de Descartes.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o Teorema Fundamental da Álgebra. Esse teorema nos diz que todo polinômio de grau
tem exatamente
raízes no conjunto dos números complexos. No nosso caso, o polinômio é de quarto grau (
), então ele tem 4 raízes no total. Essas raízes podem ser reais ou complexas.
Passo 3
Agora, para descobrir quantas dessas raízes são reais e quantas são complexas, vamos usar a Regra de Descartes. Essa regra nos ajuda a estimar o número de raízes reais positivas e negativas de um polinômio.
Primeiro, contamos as mudanças de sinal nos coeficientes de
:
As mudanças de sinal são:
- De
para : 1 mudança - De
para : 2ª mudança - De
para : 3ª mudança
Então, temos 3 mudanças de sinal, o que significa que podem haver 3 ou 1 raiz real positiva.
Passo 4
Agora, vamos analisar as raízes negativas substituindo
por
no polinômio:
As mudanças de sinal em
são:
- De
para : 1 mudança - De
para : nenhuma mudança - De
para : nenhuma mudança
Então, temos apenas 1 mudança de sinal, o que significa que há exatamente 1 raiz real negativa.
Passo 5
Agora, vamos juntar as informações:
- Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, temos 4 raízes no total.
- Pela Regra de Descartes, podemos ter 3 ou 1 raiz real positiva e 1 raiz real negativa.
Se considerarmos a possibilidade máxima de raízes reais positivas (3) e a raiz real negativa (1), totalizamos 4 raízes reais. Porém, para ter raízes complexas, elas sempre vêm em pares. Então, se tivermos menos de 4 raízes reais, haverá raízes complexas para completar as 4 raízes totais.
Resposta
O polinômio
possui 4 raízes, sendo 2 reais e 2 complexas.