Aproximar o valor da integral
integral0^2 x e^x d x
pela regra do trapézio, usando a partiçāo [0,0.2,0.4,0.6,0.8,1.0,1.2,1.4,1.6,1.8,2].

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando a Regra do Trapézio. A matéria aqui é sobre cálculo de integrais definidas e métodos de aproximação numérica. Para isso, vamos precisar entender como a Regra do Trapézio funciona e como aplicá-la com a partição dada: .

Passo 2

Primeiro, a Regra do Trapézio aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo de integração em pequenos trapézios em vez de retângulos. A fórmula geral para a Regra do Trapézio com Integral approx De subintervalos é:
onde é o tamanho de cada subintervalo.

Passo 3

Vamos identificar os valores de De na nossa partição: . Temos 10 subintervalos, então . O tamanho de cada subintervalo é:

Passo 4

Agora, precisamos calcular o valor da função f(0) &= 0 cdot e^0 = 0 f(0.2) &= 0.2 cdot e^0.2 f(0.4) &= 0.4 cdot e^0.4 &vdots f(2) &= 2 cdot e^2 em cada ponto da partição:
Vamos calcular cada um desses valores numericamente.

Passo 5

Calculando os valores de f(0) &= 0 f(0.2) &approx 0.2 cdot 1.2214 = 0.2443 f(0.4) &approx 0.4 cdot 1.4918 = 0.5967 f(0.6) &approx 0.6 cdot 1.8221 = 1.0933 f(0.8) &approx 0.8 cdot 2.2255 = 1.7804 f(1.0) &approx 1.0 cdot 2.7183 = 2.7183 f(1.2) &approx 1.2 cdot 3.3201 = 3.9841 f(1.4) &approx 1.4 cdot 4.0552 = 5.6773 f(1.6) &approx 1.6 cdot 4.9530 = 7.9248 f(1.8) &approx 1.8 cdot 6.0496 = 10.8893 f(2.0) &approx 2.0 cdot 7.3891 = 14.7782 :

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da Regra do Trapézio:
Integral approx 0.22 [ f(0) + 2f(0.2) + 2f(0.4) + dots + 2f(1.8) + f(2.0) ]
Vamos somar os valores:
f(0) + 2f(0.2) + 2f(0.4) + dots + 2f(1.8) + f(2.0) = 0 + 2(0.2443) + 2(0.5967) + dots + 2(10.8893) + 14.7782
Calculando essa soma:
0 + 0.4886 + 1.1934 + 2.1866 + 3.5608 + 5.4366 + 7.9682 + 11.3546 + 15.8496 + 21.7786 + 14.7782 approx 83.883

Passo 7

Finalmente, multiplicamos pela Integral approx 0.22 times 83.883 = 0.1 times 83.883 = 8.3883 :

Resposta

A aproximação da integral pela Regra do Trapézio com a partição dada é aproximadamente 8,3883.

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