Aproximar o valor da integral
integral0^2 e^-x^2 d x
pela regra de Simpson

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para aproximar a integral usando a regra de Simpson. Aqui, estamos lidando com Cálculo Integral, especificamente com métodos numéricos para calcular integrais que não têm solução fácil. Vamos precisar entender como a Regra de Simpson funciona e aplicar seus passos para encontrar a aproximação.

Passo 2

Primeiro, a Regra de Simpson é um método para aproximar o valor de uma integral definida. Ela é mais precisa que outros métodos como a regra dos trapézios porque usa parábolas para aproximar a curva da função. A fórmula geral da Regra de Simpson para uma integral de integrala^b f(x) , dx approx De a com subintervalos (onde é par) é:
í
onde e .

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa integral De. Primeiro, escolhemos o número de subintervalos x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2 . Para simplicidade, vamos usar , que já é permitido por ser par.
Calculando :
Então, os pontos serão:

Passo 4

Agora, vamos avaliar a função f(x0) = e^-0^2 = e^0 = 1 nesses pontos:
f(x1) = e^-1^2 = e^-1 approx 0,3679
f(x2) = e^-2^2 = e^-4 approx 0,0183

Passo 5

Aplicando os valores na fórmula da Regra de Simpson:
integral0^2 e^-x^2 , dx approx 13 [ f(0) + 4 f(1) + f(2) ]
Substituindo:
approx 13 [ 1 + 4 times 0,3679 + 0,0183 ]
approx 13 [ 1 + 1,4716 + 0,0183 ]
approx 13 times 2,4899 approx 0,82997

Resposta

A aproximação da integral pela Regra de Simpson é aproximadamente 0,830.

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