Aproximar o valor da integral
integral0^2 x e^x d x
pela regra de Simpson

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando a Regra de Simpson. Esse exercício está dentro do tópico de Cálculo Integral, mais especificamente na parte de integração numérica. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a Regra de Simpson, que é uma técnica para aproximar o valor de integrais definidas quando é difícil encontrar uma antiderivada exata.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra de Simpson. Ela aproxima a integral de uma função integrala^b f(x) dx approx b - a6 [ f(a) + 4 f(a + b2) + f(b) ] no intervalo usando parábolas que passam por três pontos: os extremos e o ponto do meio. A fórmula da Regra de Simpson para um único intervalo é:

Passo 3

No nosso caso, c = a + b2 = 0 + 22 = 1 e . Vamos calcular o ponto do meio :

Passo 4

Agora, precisamos avaliar a função f(a) = f(0) = 0 cdot e^0 = 0 nos pontos f(c) = f(1) = 1 cdot e^1 = e , f(b) = f(2) = 2 cdot e^2 e :

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula da Regra de Simpson:
integral0^2 x e^x dx approx 2 - 06 [ 0 + 4e + 2 e^2 ] = 26 [ 4e + 2 e^2 ] = 13 [ 4e + 2 e^2 ]

Passo 6

Simplificando a expressão:
13 [ 4e + 2 e^2 ] = 4e3 + 2 e^23 = 4e + 2 e^23

Resposta

A aproximação da integral pela Regra de Simpson é .

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