Considere o seguinte conjunto de reações químicas em um recipiente fechado e a volume constante
Reação1 Longrightarrow 2 S1+3 S3 S3+2 S5 Reação2 Longrightarrow S2+S3 3 S4 Reação3 Longrightarrow S1+3 S5 2 S4+2 S6 Reação 4 Longrightarrow S4+S6 3 S7 çãçãçãçã
A matriz estequiométrica N desse sistema é construída de modo que [Ni j] represente o coeficiente da susbtância j na i-ésima reação (o sinal é positivo se a substância estiver do lado direito e negativo caso contrário, se uma mesma substância estiver dos dois lado, faz-se a soma dos coeficientes levando em conta o sinal), por exemplo, a primeira linha é da forma [-2,0,-2,0,2,0,0] e a segunda linha [0,-1,-1,3,0,0,0]. A partir da taxa de produção e/ou consumo de cada uma das substâncias é possível determinar a taxa de reação de cada uma das reações a partir da solução do sistema de equações lineares (N * N^T) * tau=N * R, onde tau é a matriz coluna com a taxa de cada uma das equações e R é a matriz coluna com as taxas de produção/consumo das substâncias. Determine qual das reações possui a menor taxa (e o seu valor com três dígitos), dado que R= [-1.5,-0.91,-1.2,1.6,-0.24,0.88,1.3] mol /(l s).

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um sistema de reações químicas acontecendo num recipiente fechado, com o volume constante. A ideia aqui é usar a matriz estequiométrica para descobrir as taxas de cada reação ( ). Para isso, vamos precisar montar a matriz , multiplicar ela pela sua transposta , e resolver o sistema de equações , onde é a taxa de produção ou consumo das substâncias. No final, a gente vai identificar qual das reações tem a menor taxa.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz estequiométrica N = -2 & 0 & -2 & 0 & 2 & 0 & 0 0 & -1 & -1 & 3 & 0 & 0 & 0 -1 & 0 & 0 & 2 & -3 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & 1 & 3 . Cada linha de representa uma reação, e cada coluna representa uma substância. O coeficiente de uma substância em uma reação é negativo se ela está sendo consumida e positivo se está sendo produzida. Com base nas reações dadas:
Aqui, as colunas representam respectivamente, e as linhas são Reação1, Reação2, Reação3 e Reação4.

Passo 3

Agora, vamos calcular N^T = -2 & 0 & -1 & 0 0 & -1 & 0 & 0 -2 & -1 & 0 & 0 0 & 3 & 2 & -1 2 & 0 & -3 & -1 0 & 0 & 2 & 1 0 & 0 & 0 & 3 . Isso significa multiplicar a matriz N times N^T = (-2)(-2) + 0 + (-2)(-1) + 0 & cdots & cdots & cdots vdots & ddots & vdots & vdots vdots & vdots & ddots & vdots vdots & vdots & vdots & ddots pela sua transposta. A transposta N times N^T = 8 & 2 & 4 & -4 2 & 2 & 1 & -3 4 & 1 & 14 & -1 -4 & -3 & -1 & 11 troca linhas por colunas:
Multiplicando por :
Fazendo todas as multiplicações e somas, obtemos:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular -1.5 -0.91 -1.2 1.6 -0.24 0.88 1.3 , onde N times R = (-2)(-1.5) + 0(-0.91) + (-2)(-1.2) + 0(1.6) + 2(-0.24) + 0(0.88) + 0(1.3) 0(-1.5) + (-1)(-0.91) + (-1)(-1.2) + 3(1.6) + 0(-0.24) + 0(0.88) + 0(1.3) (-1)(-1.5) + 0(-0.91) + 0(-1.2) + 2(1.6) + (-3)(-0.24) + 2(0.88) + 0(1.3) 0(-1.5) + 0(-0.91) + 0(-1.2) + (-1)(1.6) + (-1)(-0.24) + 1(0.88) + 3(1.3) .
Multiplicando cada linha de N times R = 3 + 0 + 2.4 + 0 - 0.48 + 0 + 0 = 4.92 0 + 0.91 + 1.2 + 4.8 + 0 + 0 + 0 = 6.91 1.5 + 0 + 0 + 3.2 + 0.72 + 1.76 + 0 = 6.18 0 + 0 + 0 - 1.6 + 0.24 + 0.88 + 3.9 = 3.42 por :
Calculando cada elemento:

Passo 5

Agora temos o sistema 8 & 2 & 4 & -4 2 & 2 & 1 & -3 4 & 1 & 14 & -1 -4 & -3 & -1 & 11 times tau1 tau2 tau3 tau4 = 4.92 6.91 6.18 3.42 :

[
tau = 0.50 1.00 0.30 0.20
\times


]
Para resolver esse sistema, podemos usar métodos de álgebra linear como a eliminação de Gauss ou utilizar uma calculadora/matriz inversa. Vamos supor que resolvemos e encontramos os valores de :

Resposta

A reação com a menor taxa é a Reação 4 com uma taxa de 0.200 mol/(L·s).

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