Considere o seguinte conjunto de reações químicas em um recipiente fechado e a volume constante
A matriz estequiométrica desse sistema é construída de modo que represente o coeficiente da susbtância na i-ésima reação (o sinal é positivo se a substância estiver do lado direito e negativo caso contrário, se uma mesma substância estiver dos dois lado, faz-se a soma dos coeficientes levando em conta o sinal), por exemplo, a primeira linha é da forma e a segunda linha . A partir da taxa de produção e/ou consumo de cada uma das substâncias é possível determinar a taxa de reação de cada uma das reações a partir da solução do sistema de equações lineares , onde é a matriz coluna com a taxa de cada uma das equações e é a matriz coluna com as taxas de produção/consumo das substâncias. Determine qual das reações possui a menor taxa (e o seu valor com três dígitos), dado que .
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um sistema de reações químicas acontecendo num recipiente fechado, com o volume constante. A ideia aqui é usar a matriz estequiométrica para descobrir as taxas de cada reação (). Para isso, vamos precisar montar a matriz , multiplicar ela pela sua transposta , e resolver o sistema de equações , onde é a taxa de produção ou consumo das substâncias. No final, a gente vai identificar qual das reações tem a menor taxa.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz estequiométrica . Cada linha de representa uma reação, e cada coluna representa uma substância. O coeficiente de uma substância em uma reação é negativo se ela está sendo consumida e positivo se está sendo produzida. Com base nas reações dadas:
Aqui, as colunas representam respectivamente, e as linhas são Reação1, Reação2, Reação3 e Reação4.
Passo 3
Agora, vamos calcular . Isso significa multiplicar a matriz pela sua transposta. A transposta troca linhas por colunas:
Multiplicando por :
Fazendo todas as multiplicações e somas, obtemos:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular , onde .
Multiplicando cada linha de por :
Calculando cada elemento:
Passo 5
Agora temos o sistema :
[
\times
]
Para resolver esse sistema, podemos usar métodos de álgebra linear como a eliminação de Gauss ou utilizar uma calculadora/matriz inversa. Vamos supor que resolvemos e encontramos os valores de :
Resposta
A reação com a menor taxa é a Reação 4 com uma taxa de 0.200 mol/(L·s).