Seja um sistema de aritmética de ponto flutuante com 4 dígitos, na base decimal e precisão dupla, dados os números:
l X=0.7237 times 10^4 Y=0.2145 times 10^-3 Z=0.2585 times 10^1
Prove que:
a) O erro relativo de x+y+z<10^-3

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de aritmética de ponto flutuante com 4 dígitos na base decimal e precisão dupla. Nos são fornecidos três números:
l X = 0.7237 times 10^4 Y = 0.2145 times 10^-3 Z = 0.2585 times 10^1
Queremos provar que o erro relativo de é menor que . Para isso, vamos precisar entender como funciona a aritmética de ponto flutuante, especialmente como os erros se acumulam nas operações de adição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em aritmética de ponto flutuante, cada número é representado por uma mantissa (os dígitos significativos) e um expoente. Aqui, temos 4 dígitos na mantissa e usamos a base 10.
Quando somamos números com diferentes expoentes, precisamos alinhar os expoentes antes de somar as mantissas. Esse alinhamento pode introduzir erros devido à limitação de precisão da mantissa.

Passo 3

Vamos analisar os números fornecidos:
l X = 0.7237 times 10^4 = 7237 Y = 0.2145 times 10^-3 = 0.0002145 Z = 0.2585 times 10^1 = 2.585
Observamos que tem um expoente muito maior que e , o que significa que ao somarmos todos, terá uma contribuição muito pequena em relação a .

Passo 4

Vamos calcular a soma S = 7237 + 0.0002145 + 2.585 = 7239.5852145 :
No sistema de ponto flutuante com 4 dígitos, precisamos arredondar esse resultado para manter apenas 4 dígitos na mantissa.

Passo 5

Arredondando Saprox = 7239.5852145 approx 7239.585 (mantendo 4 dígitos na mantissa) para 4 dígitos, temos:
Saprox = 7.240 times 10^3 í
No entanto, como temos apenas 4 dígitos, consideramos:

Passo 6

Agora, vamos calcular o erro absoluto:
Erro absoluto = |S - Saprox| = |7239.5852145 - 7240| = 0.4147855
Para encontrar o erro relativo, dividimos o erro absoluto pelo valor exato Erro relativo = 0.41478557239.5852145 approx 5.73 times 10^-5 :

Passo 7

Comparando o erro relativo calculado com 5.73 times 10^-5 < 10^-3 :

Resposta

O erro relativo de é aproximadamente , o que é menor que , conforme solicitado.

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