A área da superfície lateral de um cone circular reto é dada por
S=pi r raizr^2+h^2
onde r é o raio da base e h é a altura. Determine de um cone que tenha uma área superficial de 1200 m^2 e uma altura de 20 m . Para resolver esse problema, isole a solução em um intervalo de comprimento 1 e aplique o Método de Newton tomando o ponto médio do intervalo como aproximação inicial. Como critério de parada considere 10^-4 e trabalhe com 5 casas decimais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio da base de um cone que tem uma área superficial lateral de 1200 m² e uma altura de 20 m. Para isso, vamos usar o Método de Newton, que é uma técnica matemática para encontrar raízes de funções. Vamos precisar entender a fórmula da área lateral do cone e como aplicar o Método de Newton passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da área da superfície lateral de um cone circular reto:
S = pi r raizr^2 + h^2
Onde:
  • 1200 = pi r raizr^2 + 20^2 é a área superficial lateral,
  • é o raio da base,
  • é a altura do cone.
Nosso objetivo é encontrar o valor de quando m² e m. Vamos substituir esses valores na fórmula:

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos colocar tudo em um lado para termos uma função igual a zero:
f(r) = pi r raizr^2 + 400 - 1200 = 0
Queremos encontrar o valor de que satisfaz essa equação. Vamos aplicar o Método de Newton, que usa uma estimativa inicial e refina essa estimativa para chegar perto da raiz da função .

Passo 4

Primeiro, precisamos isolar a solução em um intervalo de comprimento 1. Vamos testar valores para encontrar um intervalo onde a função muda de sinal, ou seja, onde f(5) = pi times 5 times raiz25 + 400 - 1200 approx 5pi times raiz425 - 1200 approx 5pi times 20.6155 - 1200 approx 324.619 - 1200 approx -875.381 .
Vamos testar f(10) = pi times 10 times raiz100 + 400 - 1200 approx 10pi times raiz500 - 1200 approx 10pi times 22.3607 - 1200 approx 702.477 - 1200 approx -497.523 :
f(15) = pi times 15 times raiz225 + 400 - 1200 approx 15pi times raiz625 - 1200 approx 15pi times 25 - 1200 approx 1178.097 - 1200 approx -21.903
Agora, testamos f(16) = pi times 16 times raiz256 + 400 - 1200 approx 16pi times raiz656 - 1200 approx 16pi times 25.6125 - 1200 approx 1285.212 - 1200 approx 85.212 :
Continuando até :
E finalmente :
Então, entre e , a função muda de negativa para positiva. Portanto, nosso intervalo é [15, 16].

Passo 5

Agora, vamos usar o ponto médio do intervalo como nossa aproximação inicial. O ponto médio de [15, 16] é:
r0 = 15 + 162 = 15.5

Passo 6

Vamos aplicar o Método de Newton. A fórmula é:
rn+1 = rn - f(rn)f'(rn)
Primeiro, precisamos calcular a derivada de f'(r) = pi raizr^2 + 400 + pi r times 2r2raizr^2 + 400 = pi raizr^2 + 400 + pi r^2raizr^2 + 400 :

Passo 7

Vamos calcular f(15.5) = pi times 15.5 times raiz15.5^2 + 400 - 1200 approx pi times 15.5 times 25.9165 - 1200 approx 1262.468 - 1200 approx 62.468 e f'(15.5) = pi times 25.9165 + pi times 240.2525.9165 approx 81.328 + 29.204 approx 110.532 para r1 = 15.5 - 62.468110.532 approx 15.5 - 0.5646 approx 14.9354 :
Agora, calculamos :

Passo 8

Verificamos a diferença entre |14.9354 - 15.5| = 0.5646 > 10^-4 e :
Como a diferença é maior que o critério de parada, continuamos iterando.

Passo 9

Calculamos f(14.9354) = pi times 14.9354 times raiz14.9354^2 + 400 - 1200 approx pi times 14.9354 times 24.4890 - 1200 approx 1148.148 - 1200 approx -51.852 e f'(14.9354) = pi times 24.4890 + pi times 223.26424.4890 approx 76.823 + 28.704 approx 105.527 :
r2 = 14.9354 - -51.852105.527 approx 14.9354 + 0.4919 approx 15.4273
Calculamos :

Passo 10

Verificamos a diferença entre |15.4273 - 14.9354| = 0.4919 > 10^-4 e :
Continuamos iterando.

Passo 11

Calculamos f(15.4273) = pi times 15.4273 times raiz15.4273^2 + 400 - 1200 approx pi times 15.4273 times 25.0228 - 1200 approx 1210.809 - 1200 approx 10.809 e f'(15.4273) = pi times 25.0228 + pi times 237.82925.0228 approx 78.643 + 29.981 approx 108.624 :
r3 = 15.4273 - 10.809108.624 approx 15.4273 - 0.0994 approx 15.3279
Calculamos :

Passo 12

Verificamos a diferença entre |15.3279 - 15.4273| = 0.0994 > 10^-4 e :
Continuamos iterando.

Passo 13

Calculamos f(15.3279) = pi times 15.3279 times raiz15.3279^2 + 400 - 1200 approx pi times 15.3279 times 24.9117 - 1200 approx 1199.419 - 1200 approx -0.581 e f'(15.3279) = pi times 24.9117 + pi times 234.96624.9117 approx 78.325 + 29.832 approx 108.157 :
r4 = 15.3279 - -0.581108.157 approx 15.3279 + 0.0054 approx 15.3333
Calculamos :

Passo 14

Verificamos a diferença entre |15.3333 - 15.3279| = 0.0054 > 10^-4 e :
Continuamos iterando.

Passo 15

Calculamos f(15.3333) = pi times 15.3333 times raiz15.3333^2 + 400 - 1200 approx pi times 15.3333 times 24.9422 - 1200 approx 1200.000 - 1200 approx 0.000 e :
Como a diferença é praticamente zero, atingimos o critério de parada.

Resposta

O raio da base do cone é aproximadamente metros.

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