A área da superfície lateral de um cone circular reto é dada por
onde é o raio da base e é a altura. Determine de um cone que tenha uma área superficial de e uma altura de 20 m . Para resolver esse problema, isole a solução em um intervalo de comprimento 1 e aplique o Método de Newton tomando o ponto médio do intervalo como aproximação inicial. Como critério de parada considere e trabalhe com 5 casas decimais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio da base de um cone que tem uma área superficial lateral de 1200 m² e uma altura de 20 m. Para isso, vamos usar o Método de Newton, que é uma técnica matemática para encontrar raízes de funções. Vamos precisar entender a fórmula da área lateral do cone e como aplicar o Método de Newton passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da área da superfície lateral de um cone circular reto:
Onde:
  • é a área superficial lateral,
  • é o raio da base,
  • é a altura do cone.
Nosso objetivo é encontrar o valor de quando m² e m. Vamos substituir esses valores na fórmula:

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos colocar tudo em um lado para termos uma função igual a zero:
Queremos encontrar o valor de que satisfaz essa equação. Vamos aplicar o Método de Newton, que usa uma estimativa inicial e refina essa estimativa para chegar perto da raiz da função .

Passo 4

Primeiro, precisamos isolar a solução em um intervalo de comprimento 1. Vamos testar valores para encontrar um intervalo onde a função muda de sinal, ou seja, onde .
Vamos testar :
Agora, testamos :
Continuando até :
E finalmente :
Então, entre e , a função muda de negativa para positiva. Portanto, nosso intervalo é [15, 16].

Passo 5

Agora, vamos usar o ponto médio do intervalo como nossa aproximação inicial. O ponto médio de [15, 16] é:

Passo 6

Vamos aplicar o Método de Newton. A fórmula é:
Primeiro, precisamos calcular a derivada de :

Passo 7

Vamos calcular e para :
Agora, calculamos :

Passo 8

Verificamos a diferença entre e :
Como a diferença é maior que o critério de parada, continuamos iterando.

Passo 9

Calculamos e :
Calculamos :

Passo 10

Verificamos a diferença entre e :
Continuamos iterando.

Passo 11

Calculamos e :
Calculamos :

Passo 12

Verificamos a diferença entre e :
Continuamos iterando.

Passo 13

Calculamos e :
Calculamos :

Passo 14

Verificamos a diferença entre e :
Continuamos iterando.

Passo 15

Calculamos e :
Como a diferença é praticamente zero, atingimos o critério de parada.

Resposta

O raio da base do cone é aproximadamente metros.

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Use o Método de Newton para encontrar uma aproximação para cada equação a seguir. A solução se encontra dentro do intervalo a frente de cada equação. Trabalhe com 4 casas decimais e como critério de parada considere . Tome a aproximação inicial como sendo o ponto médio dos intervalos apresentados.
© para ;
Use o Método de Newton para encontrar uma aproximação para cada equação a seguir. A solução se encontra dentro do intervalo a frente de cada equação. Trabalhe com 4 casas decimais e como critério de parada considere . Tome a aproximação inicial como sendo o ponto médio dos intervalos apresentados.
(d) para ;