A área da superfície lateral de um cone circular reto é dada por
onde
é o raio da base e
é a altura. Determine de um cone que tenha uma área superficial de
e uma altura de 20 m . Para resolver esse problema, isole a solução em um intervalo de comprimento 1 e aplique o Método de Newton tomando o ponto médio do intervalo como aproximação inicial. Como critério de parada considere
e trabalhe com 5 casas decimais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio da base de um cone que tem uma área superficial lateral de 1200 m² e uma altura de 20 m. Para isso, vamos usar o Método de Newton, que é uma técnica matemática para encontrar raízes de funções. Vamos precisar entender a fórmula da área lateral do cone e como aplicar o Método de Newton passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da área da superfície lateral de um cone circular reto:
Onde:
-
é a área superficial lateral, -
é o raio da base, -
é a altura do cone.
Nosso objetivo é encontrar o valor de
quando
m² e
m. Vamos substituir esses valores na fórmula:
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos colocar tudo em um lado para termos uma função igual a zero:
Queremos encontrar o valor de
que satisfaz essa equação. Vamos aplicar o Método de Newton, que usa uma estimativa inicial e refina essa estimativa para chegar perto da raiz da função
.
Passo 4
Primeiro, precisamos isolar a solução em um intervalo de comprimento 1. Vamos testar valores para encontrar um intervalo onde a função muda de sinal, ou seja, onde
.
Vamos testar
:
Agora, testamos
:
Continuando até
:
E finalmente
:
Então, entre
e
, a função muda de negativa para positiva. Portanto, nosso intervalo é [15, 16].
Passo 5
Agora, vamos usar o ponto médio do intervalo como nossa aproximação inicial. O ponto médio de [15, 16] é:
Passo 6
Vamos aplicar o Método de Newton. A fórmula é:
Primeiro, precisamos calcular a derivada de
:
Passo 7
Vamos calcular
e
para
:
Agora, calculamos
:
Passo 8
Verificamos a diferença entre
e
:
Como a diferença é maior que o critério de parada, continuamos iterando.
Passo 9
Calculamos
e
:
Calculamos
:
Passo 10
Verificamos a diferença entre
e
:
Continuamos iterando.
Passo 11
Calculamos
e
:
Calculamos
:
Passo 12
Verificamos a diferença entre
e
:
Continuamos iterando.
Passo 13
Calculamos
e
:
Calculamos
:
Passo 14
Verificamos a diferença entre
e
:
Continuamos iterando.
Passo 15
Calculamos
e
:
Como a diferença é praticamente zero, atingimos o critério de parada.
Resposta
O raio da base do cone é aproximadamente
metros.
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, com precisão de
, para a equação da população:
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Use o Método de Newton para encontrar uma aproximação
para cada equação a seguir. A solução se encontra dentro do intervalo a frente de cada equação. Trabalhe com 4 casas decimais e como critério de parada considere
. Tome a aproximação inicial como sendo o ponto médio dos intervalos apresentados.
© para
;
©
Use o Método de Newton para encontrar uma aproximação
para cada equação a seguir. A solução se encontra dentro do intervalo a frente de cada equação. Trabalhe com 4 casas decimais e como critério de parada considere
. Tome a aproximação inicial como sendo o ponto médio dos intervalos apresentados.
(d) para
;
(d)