Encontre um valor aproximado para
, com precisão de
, para a equação da população:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que encontrar um valor aproximado para
na seguinte equação da população:
Conteúdo da matéria: Essa equação envolve exponenciais e frações, e vamos precisar usar métodos numéricos para resolver, já que não conseguimos isolar
de forma direta.
O que vamos precisar: Vamos usar o método de Newton-Raphson, que é um método iterativo para encontrar aproximações sucessivamente melhores para as raízes de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar os cálculos. Vamos reescrever a equação original:
Agora, vamos organizar tudo para formar uma função igual a zero:
Passo 3
Para resolver
usando o método de Newton-Raphson, precisamos da derivada da função
.
Primeiro, vamos encontrar
:
Passo 4
Agora, escolhemos um valor inicial para
. Vamos supor
.
Aplicamos a fórmula de Newton-Raphson:
Vamos calcular
e
:
Note que o valor de
está muito grande, indicando que
não é um bom ponto inicial. Vamos tentar um valor menor, por exemplo,
.
Passo 5
Calculamos
e
:
Ainda estamos com
. Vamos tentar
.
Passo 6
Calculamos
e
:
Agora, estamos mais próximos de
. Aplicamos a fórmula de Newton-Raphson novamente para refinar
.
Passo 7
Escolhemos
e aplicamos:
Após cálculos adicionais, repetimos o processo até alcançar a precisão de
.
Resposta
O valor aproximado de
com precisão de
é
.
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, a taxa
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está mudando. Assuma que
.
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Resolva esse exercício tanto via Método da Bissecção como via Método de Newton. Isole a solução do problema em um intervalo com comprimento 0.5 antes de aplicar cada um dos métodos. No caso do Método de Newton tome como aproximação inicial o ponto médio intervalo escolhido. Em ambos os métodos, trabalhe com 4 casas decimais.
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. Tome a aproximação inicial como sendo o ponto médio dos intervalos apresentados.
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