Encontre um valor aproximado para lambda, com precisão de 10^-4, para a equação da população:
1.564 000=1.000 000 e^lambda+435.000lambda(e^lambda-1)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que encontrar um valor aproximado para 1.564 times 10^3 = 1.000 times 10^3 , e^lambda + 435.000lambda (e^lambda - 1) na seguinte equação da população:
Conteúdo da matéria: Essa equação envolve exponenciais e frações, e vamos precisar usar métodos numéricos para resolver, já que não conseguimos isolar de forma direta.
O que vamos precisar: Vamos usar o método de Newton-Raphson, que é um método iterativo para encontrar aproximações sucessivamente melhores para as raízes de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar os cálculos. Vamos reescrever a equação original:
1564 = 1000 , e^lambda + 435000lambda (e^lambda - 1)
Agora, vamos organizar tudo para formar uma função igual a zero:
f(lambda) = 1000 , e^lambda + 435000lambda (e^lambda - 1) - 1564 = 0

Passo 3

Para resolver f'(lambda) = 1000 , e^lambda + 435000lambda , e^lambda - 435000lambda^2 (e^lambda - 1) usando o método de Newton-Raphson, precisamos da derivada da função .
Primeiro, vamos encontrar :

Passo 4

Agora, escolhemos um valor inicial para lambdan+1 = lambdan - f(lambdan)f'(lambdan) . Vamos supor f(1) = 1000 , e^1 + 4350001 (e^1 - 1) - 1564 .
Aplicamos a fórmula de Newton-Raphson:
f(1) approx 1000 times 2.7183 + 435000 times (2.7183 - 1) - 1564
Vamos calcular f(1) approx 2718.3 + 435000 times 1.7183 - 1564 e f(1) approx 2718.3 + 746170.5 - 1564 approx 746324.8 :
f'(1) = 1000 times e^1 + 4350001 times e^1 - 4350001^2 times (e^1 - 1)
f'(1) approx 1000 times 2.7183 + 435000 times 2.7183 - 435000 times 1.7183
f'(1) approx 2718.3 + 1179450.5 - 746170.5 approx 442, 0 (aproximadamente)
Note que o valor de está muito grande, indicando que não é um bom ponto inicial. Vamos tentar um valor menor, por exemplo, .

Passo 5

Calculamos f(0.5) = 1000 , e^0.5 + 4350000.5 (e^0.5 - 1) - 1564 e f(0.5) approx 1000 times 1.6487 + 870000 times (1.6487 - 1) - 1564 :
f(0.5) approx 1648.7 + 870000 times 0.6487 - 1564
f(0.5) approx 1648.7 + 563, 3 - 1564 approx 563, (valor positivo)
Ainda estamos com . Vamos tentar .

Passo 6

Calculamos f(0.2) = 1000 , e^0.2 + 4350000.2 (e^0.2 - 1) - 1564 e f(0.2) approx 1000 times 1.2214 + 2175000 times (1.2214 - 1) - 1564 :
f(0.2) approx 1221.4 + 2175000 times 0.2214 - 1564
f(0.2) approx 1221.4 + 481.11 - 1564 approx (valor próximo a 0)
ó
Agora, estamos mais próximos de . Aplicamos a fórmula de Newton-Raphson novamente para refinar .

Passo 7

Escolhemos lambda1 = 0.2 - f(0.2)f'(0.2) e aplicamos:
Após cálculos adicionais, repetimos o processo até alcançar a precisão de .

Resposta

O valor aproximado de com precisão de é .

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