Encontre um valor aproximado para , com precisão de , para a equação da população:

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que encontrar um valor aproximado para na seguinte equação da população:
Conteúdo da matéria: Essa equação envolve exponenciais e frações, e vamos precisar usar métodos numéricos para resolver, já que não conseguimos isolar de forma direta.
O que vamos precisar: Vamos usar o método de Newton-Raphson, que é um método iterativo para encontrar aproximações sucessivamente melhores para as raízes de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar os cálculos. Vamos reescrever a equação original:
Agora, vamos organizar tudo para formar uma função igual a zero:

Passo 3

Para resolver usando o método de Newton-Raphson, precisamos da derivada da função .
Primeiro, vamos encontrar :

Passo 4

Agora, escolhemos um valor inicial para . Vamos supor .
Aplicamos a fórmula de Newton-Raphson:
Vamos calcular e :
Note que o valor de está muito grande, indicando que não é um bom ponto inicial. Vamos tentar um valor menor, por exemplo, .

Passo 5

Calculamos e :
Ainda estamos com . Vamos tentar .

Passo 6

Calculamos e :
ó
Agora, estamos mais próximos de . Aplicamos a fórmula de Newton-Raphson novamente para refinar .

Passo 7

Escolhemos e aplicamos:
Após cálculos adicionais, repetimos o processo até alcançar a precisão de .

Resposta

O valor aproximado de com precisão de é .

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