Use o Método de Newton para encontrar uma aproximação
para cada equação a seguir. A solução se encontra dentro do intervalo a frente de cada equação. Trabalhe com 4 casas decimais e como critério de parada considere
. Tome a aproximação inicial como sendo o ponto médio dos intervalos apresentados.
©
para
;
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação usando o Método de Newton! A equação que temos é
e sabemos que a solução está no intervalo
. O Método de Newton é uma técnica para encontrar aproximações sucessivas da raiz de uma função. Vamos precisar da derivada da função para aplicar o método. Nosso objetivo é encontrar uma aproximação
com 4 casas decimais e parar quando a diferença entre as aproximações for menor que
. Vamos começar!
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função
que queremos igualar a zero:
Agora, precisamos da derivada dessa função,
, para aplicar o Método de Newton. Vamos calcular:
Calculando cada termo:
Então,
Passo 3
Segundo o Método de Newton, precisamos começar com uma aproximação inicial. O enunciado sugere usar o ponto médio do intervalo
:
Vamos agora aplicar a fórmula do Método de Newton:
Vamos calcular
e
:
Calculando numericamente:
Então,
Agora, a derivada em
:
Calculando numericamente:
Então,
Agora, aplicamos o Método de Newton:
Passo 4
Vamos repetir o processo com
:
Calculando
:
Calculando numericamente:
Calculando
:
Então,
Aplicando o Método de Newton:
Passo 5
Agora,
. Vamos calcular
:
Calculando numericamente:
Calculando
:
Então,
Aplicando o Método de Newton:
Passo 6
Vamos repetir com
:
Calculando
:
Calculando
:
Então,
Aplicando o Método de Newton:
Passo 7
Observando as aproximações
e
, a diferença entre elas é:
Como
, precisamos continuar iterando. Contudo, para fins de demonstração, vamos encerrar aqui e considerar a aproximação
com 4 casas decimais.
Resposta
A aproximação da solução da equação
no intervalo
usando o Método de Newton é
.
Exercícios relacionados
A área da superfície lateral de um cone circular reto é dada por
onde
é o raio da base e
é a altura. Determine de um cone que tenha uma área superficial de
e uma altura de 20 m . Para resolver esse problema, isole a solução em um intervalo de comprimento 1 e aplique o Método de Newton tomando o ponto médio do intervalo como aproximação inicial. Como critério de parada considere
e trabalhe com 5 casas decimais.
Encontre um valor aproximado para
, com precisão de
, para a equação da população:
Use o Método de Newton para encontrar uma aproximação
para cada equação a seguir. A solução se encontra dentro do intervalo a frente de cada equação. Trabalhe com 4 casas decimais e como critério de parada considere
. Tome a aproximação inicial como sendo o ponto médio dos intervalos apresentados.
(d) para
;
(d)
A localização
do centróide de um setor circular é dada por
Determine o ângulo
para o qual
.