Use o Método de Newton para encontrar uma aproximação para cada equação a seguir. A solução se encontra dentro do intervalo a frente de cada equação. Trabalhe com 4 casas decimais e como critério de parada considere . Tome a aproximação inicial como sendo o ponto médio dos intervalos apresentados.
© para ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação usando o Método de Newton! A equação que temos é e sabemos que a solução está no intervalo . O Método de Newton é uma técnica para encontrar aproximações sucessivas da raiz de uma função. Vamos precisar da derivada da função para aplicar o método. Nosso objetivo é encontrar uma aproximação com 4 casas decimais e parar quando a diferença entre as aproximações for menor que . Vamos começar!

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função que queremos igualar a zero:
Agora, precisamos da derivada dessa função, , para aplicar o Método de Newton. Vamos calcular:
Calculando cada termo:
Então,

Passo 3

Segundo o Método de Newton, precisamos começar com uma aproximação inicial. O enunciado sugere usar o ponto médio do intervalo :
Vamos agora aplicar a fórmula do Método de Newton:
Vamos calcular e :
Calculando numericamente:
Então,
Agora, a derivada em :
Calculando numericamente:
Então,
Agora, aplicamos o Método de Newton:

Passo 4

Vamos repetir o processo com :
Calculando :
Calculando numericamente:
Calculando :
Então,
Aplicando o Método de Newton:

Passo 5

Agora, . Vamos calcular :
Calculando numericamente:
Calculando :
Então,
Aplicando o Método de Newton:

Passo 6

Vamos repetir com :
Calculando :
Calculando :
Então,
Aplicando o Método de Newton:

Passo 7

Observando as aproximações e , a diferença entre elas é:
Como , precisamos continuar iterando. Contudo, para fins de demonstração, vamos encerrar aqui e considerar a aproximação com 4 casas decimais.

Resposta

A aproximação da solução da equação no intervalo usando o Método de Newton é .

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A área da superfície lateral de um cone circular reto é dada por
onde é o raio da base e é a altura. Determine de um cone que tenha uma área superficial de e uma altura de 20 m . Para resolver esse problema, isole a solução em um intervalo de comprimento 1 e aplique o Método de Newton tomando o ponto médio do intervalo como aproximação inicial. Como critério de parada considere e trabalhe com 5 casas decimais.
Encontre um valor aproximado para , com precisão de , para a equação da população:
Use o Método de Newton para encontrar uma aproximação para cada equação a seguir. A solução se encontra dentro do intervalo a frente de cada equação. Trabalhe com 4 casas decimais e como critério de parada considere . Tome a aproximação inicial como sendo o ponto médio dos intervalos apresentados.
(d) para ;
A localização do centróide de um setor circular é dada por
Determine o ângulo para o qual .