Um medicamento administrado a um paciente produz uma concentração na corrente sangüínea dada pela função
miligramas por mililitro,
horas depois de terem sido injetadas no paciente
unidades. A concentração máxima de segurança é de
. Que quantidade deve ser injetada para atingir essa máxima concentração de segurança ? Quando esse máximo ocorre?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre como a concentração de um medicamento no sangue muda com o tempo. A função que descreve essa concentração é
miligramas por mililitro, onde
é o tempo em horas após a injeção e
é a quantidade do medicamento injetada. Nosso objetivo é descobrir qual valor de
faz com que a concentração máxima seja de
e em que momento isso acontece. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas para encontrar máximos de funções.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o ponto onde a concentração
atinge seu valor máximo. Para isso, vamos derivar a função
em relação a
e igualar a derivada a zero. A derivada nos diz a taxa de variação da concentração ao longo do tempo, e onde essa taxa é zero, temos um ponto de máximo ou mínimo.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
:
Simplificando:
Passo 4
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Como
nunca é zero, temos:
Então, a concentração máxima ocorre às 3 horas após a injeção.
Passo 5
Agora, vamos encontrar o valor de
que faz com que essa concentração máxima seja
. Sabemos que:
Queremos que
:
Calculando
:
Resposta
A quantidade que deve ser injetada é aproximadamente
unidades, e a concentração máxima de segurança ocorre às
horas após a injeção.
Exercícios relacionados
Uma partícula sai do repouso em um plano inclinado liso, cujo ângulo
está mudando a uma taxa constante
Após
segundos, a posição do objeto é dada por
Suponha que a partícula tenha se movido por 1.7 ft em 1 segundo. Encontre, com uma precisão de
, a taxa
a qual
está mudando. Assuma que
.
Resolva esse exercício tanto via Método da Bissecção como via Método de Newton. Isole a solução do problema em um intervalo com comprimento 0.5 antes de aplicar cada um dos métodos. No caso do Método de Newton tome como aproximação inicial o ponto médio intervalo escolhido. Em ambos os métodos, trabalhe com 4 casas decimais.
Resolva esse exercício tanto via Método da Bissecção como via Método de Newton. Isole a solução do problema em um intervalo com comprimento 0.5 antes de aplicar cada um dos métodos. No caso do Método de Newton tome como aproximação inicial o ponto médio intervalo escolhido. Em ambos os métodos, trabalhe com 4 casas decimais.
A equação
em uma única solução no intervalo [4.4,4.6]. Obtenha uma aproximação para solução desse problema via Método de Newton. Tome
como aproximação inicial e como critério de parada
. Trabalhe com 5 casas decimais.
Encontre um valor aproximado para
, com precisão de
, para a equação da população:
A área da superfície lateral de um cone circular reto é dada por
onde
é o raio da base e
é a altura. Determine de um cone que tenha uma área superficial de
e uma altura de 20 m . Para resolver esse problema, isole a solução em um intervalo de comprimento 1 e aplique o Método de Newton tomando o ponto médio do intervalo como aproximação inicial. Como critério de parada considere
e trabalhe com 5 casas decimais.