Um medicamento administrado a um paciente produz uma concentração na corrente sangüínea dada pela função
miligramas por mililitro,
horas depois de terem sido injetadas no paciente
unidades. A concentração máxima de segurança é de
. Que quantidade deve ser injetada para atingir essa máxima concentração de segurança ? Quando esse máximo ocorre?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre como a concentração de um medicamento no sangue muda com o tempo. A função que descreve essa concentração é
miligramas por mililitro, onde
é o tempo em horas após a injeção e
é a quantidade do medicamento injetada. Nosso objetivo é descobrir qual valor de
faz com que a concentração máxima seja de
e em que momento isso acontece. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas para encontrar máximos de funções.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o ponto onde a concentração
atinge seu valor máximo. Para isso, vamos derivar a função
em relação a
e igualar a derivada a zero. A derivada nos diz a taxa de variação da concentração ao longo do tempo, e onde essa taxa é zero, temos um ponto de máximo ou mínimo.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
:
Simplificando:
Passo 4
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Como
nunca é zero, temos:
Então, a concentração máxima ocorre às 3 horas após a injeção.
Passo 5
Agora, vamos encontrar o valor de
que faz com que essa concentração máxima seja
. Sabemos que:
Queremos que
:
Calculando
:
Resposta
A quantidade que deve ser injetada é aproximadamente
unidades, e a concentração máxima de segurança ocorre às
horas após a injeção.