Um medicamento administrado a um paciente produz uma concentração na corrente sangüínea dada pela função miligramas por mililitro, horas depois de terem sido injetadas no paciente unidades. A concentração máxima de segurança é de . Que quantidade deve ser injetada para atingir essa máxima concentração de segurança ? Quando esse máximo ocorre?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre como a concentração de um medicamento no sangue muda com o tempo. A função que descreve essa concentração é miligramas por mililitro, onde é o tempo em horas após a injeção e é a quantidade do medicamento injetada. Nosso objetivo é descobrir qual valor de faz com que a concentração máxima seja de e em que momento isso acontece. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas para encontrar máximos de funções.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o ponto onde a concentração atinge seu valor máximo. Para isso, vamos derivar a função em relação a e igualar a derivada a zero. A derivada nos diz a taxa de variação da concentração ao longo do tempo, e onde essa taxa é zero, temos um ponto de máximo ou mínimo.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de :
Simplificando:

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Como nunca é zero, temos:
Então, a concentração máxima ocorre às 3 horas após a injeção.

Passo 5

Agora, vamos encontrar o valor de que faz com que essa concentração máxima seja . Sabemos que:
Queremos que :
Calculando :

Resposta

A quantidade que deve ser injetada é aproximadamente unidades, e a concentração máxima de segurança ocorre às horas após a injeção.

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