Um medicamento administrado a um paciente produz uma concentração na corrente sangüínea dada pela função c(t)=A-t e^-t3 miligramas por mililitro, t horas depois de terem sido injetadas no paciente A unidades. A concentração máxima de segurança é de 1 mg / ml. Que quantidade deve ser injetada para atingir essa máxima concentração de segurança ? Quando esse máximo ocorre?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre como a concentração de um medicamento no sangue muda com o tempo. A função que descreve essa concentração é miligramas por mililitro, onde é o tempo em horas após a injeção e é a quantidade do medicamento injetada. Nosso objetivo é descobrir qual valor de faz com que a concentração máxima seja de e em que momento isso acontece. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas para encontrar máximos de funções.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o ponto onde a concentração atinge seu valor máximo. Para isso, vamos derivar a função em relação a e igualar a derivada a zero. A derivada nos diz a taxa de variação da concentração ao longo do tempo, e onde essa taxa é zero, temos um ponto de máximo ou mínimo.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de c'(t) = ddt( A - t e^-t3 ) = 0 - ( e^-t3 + t (-13 e^-t3) ) = -e^-t3 + t3 e^-t3 :
c'(t) = e^-t3 ( -1 + t3 )
Simplificando:

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
e^-t3 ( -1 + t3 ) = 0
Como -1 + t3 = 0 Rightarrow t3 = 1 Rightarrow t = 3 horas nunca é zero, temos:
Então, a concentração máxima ocorre às 3 horas após a injeção.

Passo 5

Agora, vamos encontrar o valor de c(3) = A - 3 e^-33 = A - 3 e^-1 que faz com que essa concentração máxima seja A - 3 e^-1 = 1 Rightarrow A = 1 + 3 e^-1 . Sabemos que:
A approx 1 + 3 times 0,3679 approx 1 + 1,1037 approx 2,1037 unidades
Queremos que :
Calculando :

Resposta

A quantidade que deve ser injetada é aproximadamente unidades, e a concentração máxima de segurança ocorre às horas após a injeção.

Exercícios relacionados