Use o Método de Newton para encontrar uma aproximação barx para cada equação a seguir. A solução se encontra dentro do intervalo a frente de cada equação. Trabalhe com 4 casas decimais e como critério de parada considere varepsilon=10^-4. Tome a aproximação inicial como sendo o ponto médio dos intervalos apresentados.
(d) (x-2)^2-ln (x)=0 para barx in[e, 4];

Passo 1

Vamos resolver a equação (x-2)^2 - ln(x) = 0 usando o Método de Newton. Nosso objetivo é encontrar uma aproximação barx dentro do intervalo [e, 4]. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que são essenciais no Método de Newton. Vamos precisar calcular a função original e sua derivada para aplicar as iterações do método.

Passo 2

Primeiro, identificamos a aproximação inicial, que é o ponto médio do intervalo [e, 4]. Sabendo que e approx 2.7183, calculamos:
x0 = e + 42 approx 2.7183 + 42 = 3.3592

Passo 3

Vamos definir nossa função e sua derivada:
f(x) = (x - 2)^2 - ln(x)
A derivada de f(x) é:
f'(x) = 2(x - 2) - 1x

Passo 4

Aplicamos o Método de Newton usando a fórmula:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Iteração 1:
f(3.3592) = (3.3592 - 2)^2 - ln(3.3592) approx (1.3592)^2 - 1.2145 approx 1.8462 - 1.2145 = 0.6317
f'(3.3592) = 2(3.3592 - 2) - 13.3592 approx 2(1.3592) - 0.2972 approx 2.7184 - 0.2972 = 2.4212
x1 = 3.3592 - 0.63172.4212 approx 3.3592 - 0.2609 = 3.0983

Passo 5

Verificamos a condição de parada:
|x1 - x0| = |3.0983 - 3.3592| = 0.2609 >= 0.0001
Como não atingimos a precisão desejada, continuamos.
Iteração 2:
f(3.0983) = (3.0983 - 2)^2 - ln(3.0983) approx (1.0983)^2 - 1.1293 approx 1.2063 - 1.1293 = 0.0770
f'(3.0983) = 2(3.0983 - 2) - 13.0983 approx 2(1.0983) - 0.3229 approx 2.1966 - 0.3229 = 1.8737
x2 = 3.0983 - 0.07701.8737 approx 3.0983 - 0.0411 = 3.0572

Passo 6

Verificamos novamente:
|x2 - x1| = |3.0572 - 3.0983| = 0.0411 >= 0.0001
Continuamos com mais uma iteração.
Iteração 3:
f(3.0572) = (3.0572 - 2)^2 - ln(3.0572) approx (1.0572)^2 - 1.1162 approx 1.1176 - 1.1162 = 0.0014
f'(3.0572) = 2(3.0572 - 2) - 13.0572 approx 2(1.0572) - 0.3274 approx 2.1144 - 0.3274 = 1.7870
x3 = 3.0572 - 0.00141.7870 approx 3.0572 - 0.0008 = 3.0564

Passo 7

Verificamos a condição de parada:
|x3 - x2| = |3.0564 - 3.0572| = 0.0008 >= 0.0001
Ainda não atingimos a precisão, então fazemos mais uma iteração.
Iteração 4:
f(3.0564) = (3.0564 - 2)^2 - ln(3.0564) approx (1.0564)^2 - 1.1150 approx 1.1153 - 1.1150 = 0.0003
f'(3.0564) = 2(3.0564 - 2) - 13.0564 approx 2(1.0564) - 0.3278 approx 2.1128 - 0.3278 = 1.7850
x4 = 3.0564 - 0.00031.7850 approx 3.0564 - 0.0002 = 3.0562

Passo 8

Verificamos novamente:
|x4 - x3| = |3.0562 - 3.0564| = 0.0002 >= 0.0001
Mais uma iteração para alcançar a precisão desejada.
Iteração 5:
f(3.0562) = (3.0562 - 2)^2 - ln(3.0562) approx (1.0562)^2 - 1.1149 approx 1.1150 - 1.1149 = 0.0001
f'(3.0562) = 2(3.0562 - 2) - 13.0562 approx 2(1.0562) - 0.3279 approx 2.1124 - 0.3279 = 1.7845
x5 = 3.0562 - 0.00011.7845 approx 3.0562 - 0.0001 = 3.0561

Resposta

A aproximação da solução da equação (x-2)^2 - ln(x) = 0 no intervalo [e, 4] utilizando o Método de Newton é barx approx 3.0561.

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