Assumindo , calcule e o número de condição . Idem para .
Passo 1
Beleza, bora resolver esse exercício juntos! A gente tem duas matrizes e precisa calcular a norma , que é igual ao maior valor singular , e o número de condição , que é a razão entre os maiores e menores valores singulares, . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como valores singulares e matrizes transpostas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a norma . Essa norma é conhecida como a norma espectral ou norma de operador e, para matrizes, ela corresponde ao maior valor singular da matriz. Valores singulares são as raízes quadradas dos valores próprios da matriz , onde é a transposta de .
Passo 3
Vamos começar com a primeira matriz:
Primeiro, calculamos a transposta de :
Passo 4
Agora, multiplicamos por :
Passo 5
Agora, precisamos encontrar os valores próprios de . Para isso, resolvemos o determinante :
Calculando:
E:
Então:
Resolvendo a equação quadrática:
Aproximando , temos:
Passo 6
Agora, os valores singulares são as raízes quadradas dos valores próprios:
Então, a norma .
Passo 7
Para encontrar o número de condição , usamos a fórmula:
Passo 8
Agora, vamos repetir o processo para a segunda matriz: