Assumindo , calcule e o número de condição . Idem para .

Passo 1

Beleza, bora resolver esse exercício juntos! A gente tem duas matrizes e precisa calcular a norma , que é igual ao maior valor singular , e o número de condição , que é a razão entre os maiores e menores valores singulares, . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como valores singulares e matrizes transpostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a norma . Essa norma é conhecida como a norma espectral ou norma de operador e, para matrizes, ela corresponde ao maior valor singular da matriz. Valores singulares são as raízes quadradas dos valores próprios da matriz , onde é a transposta de .

Passo 3

Vamos começar com a primeira matriz:
Primeiro, calculamos a transposta de :

Passo 4

Agora, multiplicamos por :

Passo 5

Agora, precisamos encontrar os valores próprios de . Para isso, resolvemos o determinante :
Calculando:
E:
Então:
Resolvendo a equação quadrática:
Aproximando , temos:

Passo 6

Agora, os valores singulares são as raízes quadradas dos valores próprios:
Então, a norma .

Passo 7

Para encontrar o número de condição , usamos a fórmula:

Passo 8

Agora, vamos repetir o processo para a segunda matriz:
Transposta de :
Multiplicando por :

Passo 9

Encontrando os valores próprios de :
Calculando:
E:
Então:
Resolvendo a equação quadrática:
Então:

Passo 10

Calculando os valores singulares:
Então, a norma .

Passo 11

Calculando o número de condição :

Resposta

Para :
Para :

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