Assumindo B=(cc2 & -1 5 & 3), calcule |B|2=sigma1 e o número de condição kappa2(B)=sigma1sigma2. Idem para B=(cc2 & -1 -1 & 3).

Passo 1

Beleza, bora resolver esse exercício juntos! A gente tem duas matrizes e precisa calcular a norma , que é igual ao maior valor singular , e o número de condição , que é a razão entre os maiores e menores valores singulares, . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como valores singulares e matrizes transpostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a norma . Essa norma é conhecida como a norma espectral ou norma de operador e, para matrizes, ela corresponde ao maior valor singular da matriz. Valores singulares são as raízes quadradas dos valores próprios da matriz , onde é a transposta de .

Passo 3

Vamos começar com a primeira matriz:
B = 2 & -1 5 & 3
Primeiro, calculamos a transposta de B^T = 2 & 5 -1 & 3 :

Passo 4

Agora, multiplicamos B^T B = 2 & 5 -1 & 3 2 & -1 5 & 3 = (2)(2) + (5)(5) & (2)(-1) + (5)(3) (-1)(2) + (3)(5) & (-1)(-1) + (3)(3) = 4 + 25 & -2 + 15 -2 + 15 & 1 + 9 = 29 & 13 13 & 10 por :

Passo 5

Agora, precisamos encontrar os valores próprios de det( 29 - lambda & 13 13 & 10 - lambda ) = (29 - lambda)(10 - lambda) - (13)(13) = 0 . Para isso, resolvemos o determinante (29 - lambda)(10 - lambda) = 290 - 29lambda - 10lambda + lambda^2 = lambda^2 - 39lambda + 290 :
13 times 13 = 169
Calculando:
lambda^2 - 39lambda + 290 - 169 = lambda^2 - 39lambda + 121 = 0
E:
lambda = 39 pm raiz39^2 - 4 times 1 times 1212 times 1 = 39 pm raiz1521 - 4842 = 39 pm raiz10372
Então:
lambda1 approx 39 + 32.22 = 35.6 e lambda2 approx 39 - 32.22 = 3.4
Resolvendo a equação quadrática:
Aproximando , temos:

Passo 6

Agora, os valores singulares são as raízes quadradas dos valores próprios:
sigma1 = raiz35.6 approx 5.96 e sigma2 = raiz3.4 approx 1.84
Então, a norma .

Passo 7

Para encontrar o número de condição kappa2(B) = sigma1sigma2 approx 5.961.84 approx 3.24 , usamos a fórmula:

Passo 8

Agora, vamos repetir o processo para a segunda matriz:
B = 2 & -1 -1 & 3
Transposta de B^T = 2 & -1 -1 & 3 :
B^T B = 2 & -1 -1 & 3 2 & -1 -1 & 3 = (2)(2) + (-1)(-1) & (2)(-1) + (-1)(3) (-1)(2) + (3)(-1) & (-1)(-1) + (3)(3) = 4 + 1 & -2 -3 -2 -3 & 1 + 9 = 5 & -5 -5 & 10
Multiplicando por :

Passo 9

Encontrando os valores próprios de det( 5 - lambda & -5 -5 & 10 - lambda ) = (5 - lambda)(10 - lambda) - (-5)(-5) = 0 :
(5 - lambda)(10 - lambda) = 50 - 5lambda - 10lambda + lambda^2 = lambda^2 - 15lambda + 50
Calculando:
(-5)(-5) = 25
E:
lambda^2 - 15lambda + 50 - 25 = lambda^2 - 15lambda + 25 = 0
Então:
lambda = 15 pm raiz225 - 1002 = 15 pm raiz1252 = 15 pm 11.182
Resolvendo a equação quadrática:
lambda1 approx 15 + 11.182 = 13.09 e lambda2 approx 15 - 11.182 = 1.91
Então:

Passo 10

Calculando os valores singulares:
sigma1 = raiz13.09 approx 3.62 e sigma2 = raiz1.91 approx 1.38
Então, a norma .

Passo 11

Calculando o número de condição kappa2(B) = sigma1sigma2 approx 3.621.38 approx 2.62 :

Resposta

Para 2 & -1 5 & 3 :
|B|2 approx 5.96 e kappa2(B) approx 3.24
Para 2 & -1 -1 & 3 :
|B|2 approx 3.62 e kappa2(B) approx 2.62

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