Assumindo
, calcule
e o número de condição
. Idem para
.
Passo 1
Beleza, bora resolver esse exercício juntos! A gente tem duas matrizes
e precisa calcular a norma
, que é igual ao maior valor singular
, e o número de condição
, que é a razão entre os maiores e menores valores singulares,
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como valores singulares e matrizes transpostas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a norma
. Essa norma é conhecida como a norma espectral ou norma de operador e, para matrizes, ela corresponde ao maior valor singular da matriz. Valores singulares são as raízes quadradas dos valores próprios da matriz
, onde
é a transposta de
.
Passo 3
Vamos começar com a primeira matriz:
Primeiro, calculamos a transposta de
:
Passo 4
Agora, multiplicamos
por
:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar os valores próprios de
. Para isso, resolvemos o determinante
:
Calculando:
E:
Então:
Resolvendo a equação quadrática:
Aproximando
, temos:
Passo 6
Agora, os valores singulares são as raízes quadradas dos valores próprios:
Então, a norma
.
Passo 7
Para encontrar o número de condição
, usamos a fórmula:
Passo 8
Agora, vamos repetir o processo para a segunda matriz:
Transposta de
:
Multiplicando
por
:
Passo 9
Encontrando os valores próprios de
:
Calculando:
E:
Então:
Resolvendo a equação quadrática:
Então:
Passo 10
Calculando os valores singulares:
Então, a norma
.
Passo 11
Calculando o número de condição
:
Resposta
Para
:
Para
: