Dada a matriz A=(cccc9 & 3 & 6 & -3 3 & 5 & 0 & -1 6 & 0 & 30 & 8 -3 & -1 & 8 & 69) e o vetor b=(c9 5 -50 103),
resolva o sistema linear A x=b através da Decomposição de Cholesky.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando a Decomposição de Cholesky. Primeiro, o que é isso? A Decomposição de Cholesky é uma maneira de escrever uma matriz simétrica e positiva definida como o produto de uma matriz triangular inferior e sua transposta, ou seja, . Para isso, precisamos que a matriz seja simétrica (o que já é o caso aqui) e positiva definida. Vamos precisar dessa decomposição para simplificar a resolução do sistema.

Passo 2

Vamos conferir se a matriz 9 & 3 3 & 5 é simétrica e positiva definida. Uma matriz é simétrica se , o que é verdade aqui. Para verificar se é positiva definida, precisamos checar se todos os seus menores principais têm determinante positivo.
Calculando rapidamente:
  • Continuando assim, vemos que todos os menores são positivos, então é positiva definida.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a matriz triangular inferior L = l11 & 0 & 0 & 0 l21 & l22 & 0 & 0 l31 & l32 & l33 & 0 l41 & l42 & l43 & l44 tal que L = 3 & 0 & 0 & 0 1 & 2 & 0 & 0 2 & -1 & 5 & 0 -1 & 0 & 2 & 8 . Vamos construir passo a passo:
Usando a fórmula de Cholesky, calculamos os elementos de :
Então, a matriz fica:

Passo 4

Agora que temos 3 1 -11 16 , vamos resolver para encontrar . Isso é feito por substituição direta:
Então,

Passo 5

Agora, vamos resolver L^T = 3 & 1 & 2 & -1 0 & 2 & -1 & 0 0 & 0 & 5 & 2 0 & 0 & 0 & 8 para encontrar 4 -1 -3 2 . Novamente, usamos a substituição direta:
A matriz é:
Resolvendo passo a passo:
Então,

Resposta

A solução do sistema x = 4 -1 -3 2 é:

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