Dada a matriz e o vetor ,
resolva o sistema linear através da Decomposição de Cholesky.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando a Decomposição de Cholesky. Primeiro, o que é isso? A Decomposição de Cholesky é uma maneira de escrever uma matriz simétrica e positiva definida como o produto de uma matriz triangular inferior e sua transposta, ou seja, . Para isso, precisamos que a matriz seja simétrica (o que já é o caso aqui) e positiva definida. Vamos precisar dessa decomposição para simplificar a resolução do sistema.
Passo 2
Vamos conferir se a matriz é simétrica e positiva definida. Uma matriz é simétrica se , o que é verdade aqui. Para verificar se é positiva definida, precisamos checar se todos os seus menores principais têm determinante positivo.
Calculando rapidamente:
Continuando assim, vemos que todos os menores são positivos, então é positiva definida.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a matriz triangular inferior tal que . Vamos construir passo a passo:
Usando a fórmula de Cholesky, calculamos os elementos de :
Então, a matriz fica:
Passo 4
Agora que temos , vamos resolver para encontrar . Isso é feito por substituição direta:
⇒
⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒
Então,
Passo 5
Agora, vamos resolver para encontrar . Novamente, usamos a substituição direta: