Dada a matriz e o vetor ,
resolva o sistema linear através da Decomposição de Cholesky.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando a Decomposição de Cholesky. Primeiro, o que é isso? A Decomposição de Cholesky é uma maneira de escrever uma matriz simétrica e positiva definida como o produto de uma matriz triangular inferior e sua transposta, ou seja, . Para isso, precisamos que a matriz seja simétrica (o que já é o caso aqui) e positiva definida. Vamos precisar dessa decomposição para simplificar a resolução do sistema.

Passo 2

Vamos conferir se a matriz é simétrica e positiva definida. Uma matriz é simétrica se , o que é verdade aqui. Para verificar se é positiva definida, precisamos checar se todos os seus menores principais têm determinante positivo.
Calculando rapidamente:
  • Continuando assim, vemos que todos os menores são positivos, então é positiva definida.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a matriz triangular inferior tal que . Vamos construir passo a passo:
Usando a fórmula de Cholesky, calculamos os elementos de :
Então, a matriz fica:

Passo 4

Agora que temos , vamos resolver para encontrar . Isso é feito por substituição direta:
Então,

Passo 5

Agora, vamos resolver para encontrar . Novamente, usamos a substituição direta:
A matriz é:
Resolvendo passo a passo:
Então,

Resposta

A solução do sistema é:

Exercícios relacionados

Resolva o sistema linear pelo método de decomposição , com pivotação parcial,
onde e .
Identifique e o vetor solução .
Assumindo , calcule e o número de condição . Idem para .
Responda verdadeiro ou falso (e justifique): . Se então o sistema linear não admite solução.
Responda verdadeiro ou falso (e justifique): Os autovalores de são: . Então é positiva definida.