Resolva o sistema linear pelo método de decomposição , com pivotação parcial, onde e . Identifique e o vetor solução .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o sistema linear usando o método de decomposição com pivotação parcial. Isso faz parte da álgebra linear, especificamente na resolução de sistemas lineares. Para isso, vamos precisar decompor a matriz em três matrizes: (matriz de permutação), (matriz triangular inferior) e (matriz triangular superior). Depois, vamos usar essas matrizes para encontrar o vetor solução .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz e o vetor :

Passo 3

Vamos iniciar a decomposição . A matriz vai ajudar na pivotação parcial, que é importante para melhorar a estabilidade numérica do método. A pivotação parcial envolve trocar as linhas da matriz de forma que o maior elemento em valor absoluto de cada coluna seja colocado na diagonal principal.

Passo 4

Começamos com a primeira coluna. Observamos os elementos: O maior valor absoluto aqui é 5, que está na segunda linha. Então, vamos trocar a primeira linha com a segunda linha. Nossa matriz agora é: E a matriz fica:

Passo 5

Agora, vamos decompor em e . Inicialmente, é a matriz identidade e é uma cópia de :

Passo 6

Vamos eliminar os elementos abaixo da pivô na primeira coluna. Usamos o elemento como pivô. - Para a segunda linha, multiplicamos a primeira linha por e subtraímos da segunda linha: - Para a terceira linha, multiplicamos a primeira linha por e subtraímos da terceira linha: - Para a quarta linha, multiplicamos a primeira linha por e subtraímos da quarta linha: Atualizamos com esses multiplicadores e atualizamos :

Passo 7

Agora, vamos para a segunda coluna. O maior elemento em valor absoluto na submatriz é 2, que está na terceira linha da submatriz atual. Então, trocamos a segunda linha com a terceira linha. Atualizamos , , e :

Passo 8

Continuamos a eliminação. Agora, usamos o pivô na segunda coluna para eliminar os elementos abaixo dele. - Para a terceira linha, multiplicamos a segunda linha por e subtraímos da terceira linha: - Para a quarta linha, multiplicamos a segunda linha por e subtraímos da quarta linha: Atualizamos e :

Passo 9

Finalmente, na terceira coluna, o pivô é . Não há necessidade de pivotação aqui, pois já é o único elemento. Atualizamos com o multiplicador para a quarta linha: - Multiplicador

Passo 10

Agora que temos , podemos resolver o sistema. Primeiro, resolvemos . Calculando : Agora, resolvemos : Resolvendo passo a passo: 1. 2. 3. 4.

Passo 11

Agora resolvemos : Começamos de baixo para cima: 1. 2. Substituímos na terceira equação: 3. Substituímos e na segunda equação: 4. Finalmente, substituímos todas as variáveis na primeira equação:

Resposta

As matrizes de decomposição são: E o vetor solução é:

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Assumindo , calcule e o número de condição . Idem para .
Responda verdadeiro ou falso (e justifique): Os autovalores de são: . Então .
Dada a matriz e o vetor , resolva o sistema linear através da Decomposição de Cholesky.
Responda verdadeiro ou falso (e justifique): . Se então o sistema linear não admite solução.