Resolva o sistema linear pelo método de decomposição , com pivotação parcial,
onde e .
Identifique e o vetor solução .
Passo 1
Beleza, vamos resolver o sistema linear usando o método de decomposição com pivotação parcial. Isso faz parte da álgebra linear, especificamente na resolução de sistemas lineares. Para isso, vamos precisar decompor a matriz em três matrizes: (matriz de permutação), (matriz triangular inferior) e (matriz triangular superior). Depois, vamos usar essas matrizes para encontrar o vetor solução .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz e o vetor :
Passo 3
Vamos iniciar a decomposição . A matriz vai ajudar na pivotação parcial, que é importante para melhorar a estabilidade numérica do método. A pivotação parcial envolve trocar as linhas da matriz de forma que o maior elemento em valor absoluto de cada coluna seja colocado na diagonal principal.
Passo 4
Começamos com a primeira coluna. Observamos os elementos:
O maior valor absoluto aqui é 5, que está na segunda linha. Então, vamos trocar a primeira linha com a segunda linha. Nossa matriz agora é:
E a matriz fica:
Passo 5
Agora, vamos decompor em e . Inicialmente, é a matriz identidade e é uma cópia de :
Passo 6
Vamos eliminar os elementos abaixo da pivô na primeira coluna. Usamos o elemento como pivô.
- Para a segunda linha, multiplicamos a primeira linha por e subtraímos da segunda linha:
- Para a terceira linha, multiplicamos a primeira linha por e subtraímos da terceira linha:
- Para a quarta linha, multiplicamos a primeira linha por e subtraímos da quarta linha:
Atualizamos com esses multiplicadores e atualizamos :
Passo 7
Agora, vamos para a segunda coluna. O maior elemento em valor absoluto na submatriz é 2, que está na terceira linha da submatriz atual. Então, trocamos a segunda linha com a terceira linha. Atualizamos , , e :
Passo 8
Continuamos a eliminação. Agora, usamos o pivô na segunda coluna para eliminar os elementos abaixo dele.
- Para a terceira linha, multiplicamos a segunda linha por e subtraímos da terceira linha:
- Para a quarta linha, multiplicamos a segunda linha por e subtraímos da quarta linha:
Atualizamos e :
Passo 9
Finalmente, na terceira coluna, o pivô é . Não há necessidade de pivotação aqui, pois já é o único elemento.
Atualizamos com o multiplicador para a quarta linha:
- Multiplicador
Passo 10
Agora que temos , podemos resolver o sistema. Primeiro, resolvemos .
Calculando :
Agora, resolvemos :
Resolvendo passo a passo:
1.
2.
3.
4.
Passo 11
Agora resolvemos :
Começamos de baixo para cima:
1.
2. Substituímos na terceira equação:
3. Substituímos e na segunda equação:
4. Finalmente, substituímos todas as variáveis na primeira equação:
Resposta
As matrizes de decomposição são:
E o vetor solução é: