Resolva o sistema linear pelo método de decomposição , com pivotação parcial,
onde e b=(c3 1 10 5).
Identifique L, U, P e o vetor solução x.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o sistema linear usando o método de decomposição com pivotação parcial. Isso faz parte da álgebra linear, especificamente na resolução de sistemas lineares. Para isso, vamos precisar decompor a matriz em três matrizes: (matriz de permutação), (matriz triangular inferior) e (matriz triangular superior). Depois, vamos usar essas matrizes para encontrar o vetor solução .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz A = 1 & 1,2 & -1,9 & 3,4 5 & 1 & -2 & 2 -2,5 & 1,5 & 0 & 3 -1,25 & 1,75 & 0,5 & 6,5 , b = 3 1 10 5 e o vetor :
Passo 3
Vamos iniciar a decomposição . A matriz vai ajudar na pivotação parcial, que é importante para melhorar a estabilidade numérica do método. A pivotação parcial envolve trocar as linhas da matriz de forma que o maior elemento em valor absoluto de cada coluna seja colocado na diagonal principal.
Passo 4
Começamos com a primeira coluna. Observamos os elementos:
1, 5, -2,5, -1,25
O maior valor absoluto aqui é 5, que está na segunda linha. Então, vamos trocar a primeira linha com a segunda linha. Nossa matriz P = 0 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 agora é:
Agora, vamos decompor L = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 , U = PA em e . Inicialmente, é a matriz identidade e é uma cópia de :
Passo 6
Vamos eliminar os elementos abaixo da pivô na primeira coluna. Usamos o elemento L = 1 & 0 & 0 & 0 0,2 & 1 & 0 & 0 -0,5 & 0 & 1 & 0 -0,25 & 0 & 0 & 1 , U = 5 & 1 & -2 & 2 0 & 1,16 & -1,6 & 3 0 & 2 & -1 & 4 0 & 2 & 0 & 6 como pivô.
Para a segunda linha, multiplicamos a primeira linha por e subtraímos da segunda linha:
Para a terceira linha, multiplicamos a primeira linha por e subtraímos da terceira linha:
Para a quarta linha, multiplicamos a primeira linha por e subtraímos da quarta linha:
Atualizamos com esses multiplicadores e atualizamos :
Passo 7
Agora, vamos para a segunda coluna. O maior elemento em valor absoluto na submatriz é 2, que está na terceira linha da submatriz atual. Então, trocamos a segunda linha com a terceira linha. Atualizamos P = 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 , L = 1 & 0 & 0 & 0 0,2 & 0 & 1 & 0 -0,5 & 1 & 0 & 0 -0,25 & 0 & 0 & 1 , U = 5 & 1 & -2 & 2 0 & 2 & -1 & 4 0 & 1,16 & -1,6 & 3 0 & 2 & 0 & 6 , , e :
Passo 8
Continuamos a eliminação. Agora, usamos o pivô L = 1 & 0 & 0 & 0 0,2 & 1 & 0 & 0 -0,5 & 0,58 & 1 & 0 -0,25 & 1 & 0 & 1 , U = 5 & 1 & -2 & 2 0 & 2 & -1 & 4 0 & 0 & -1,22 & 0,52 0 & 0 & 1 & 2 na segunda coluna para eliminar os elementos abaixo dele.
Para a terceira linha, multiplicamos a segunda linha por e subtraímos da terceira linha:
Para a quarta linha, multiplicamos a segunda linha por e subtraímos da quarta linha:
Atualizamos e :
Passo 9
Finalmente, na terceira coluna, o pivô é L = 1 & 0 & 0 & 0 0,2 & 1 & 0 & 0 -0,5 & 0,58 & 1 & 0 -0,25 & 1 & -0,82 & 1 , U = 5 & 1 & -2 & 2 0 & 2 & -1 & 4 0 & 0 & -1,22 & 0,52 0 & 0 & 0 & 2,43 . Não há necessidade de pivotação aqui, pois já é o único elemento.
Atualizamos com o multiplicador para a quarta linha: