Resolva o sistema linear A x=b pelo método de decomposição P A=L U, com pivotação parcial,
onde A=(cccc1 & 1,2 & -1,9 & 3,4 5 & 1 & -2, & 2 -2,5 & 1,5 & 0, & 3 -1,25 & 1,75 & 0,5 & 6,5) e b=(c3 1 10 5).
Identifique L, U, P e o vetor solução x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o sistema linear usando o método de decomposição com pivotação parcial. Isso faz parte da álgebra linear, especificamente na resolução de sistemas lineares. Para isso, vamos precisar decompor a matriz em três matrizes: (matriz de permutação), (matriz triangular inferior) e (matriz triangular superior). Depois, vamos usar essas matrizes para encontrar o vetor solução .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz A = 1 & 1,2 & -1,9 & 3,4 5 & 1 & -2 & 2 -2,5 & 1,5 & 0 & 3 -1,25 & 1,75 & 0,5 & 6,5 , b = 3 1 10 5 e o vetor :

Passo 3

Vamos iniciar a decomposição . A matriz vai ajudar na pivotação parcial, que é importante para melhorar a estabilidade numérica do método. A pivotação parcial envolve trocar as linhas da matriz de forma que o maior elemento em valor absoluto de cada coluna seja colocado na diagonal principal.

Passo 4

Começamos com a primeira coluna. Observamos os elementos:
1, 5, -2,5, -1,25
O maior valor absoluto aqui é 5, que está na segunda linha. Então, vamos trocar a primeira linha com a segunda linha. Nossa matriz P = 0 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 agora é:
PA = 5 & 1 & -2 & 2 1 & 1,2 & -1,9 & 3,4 -2,5 & 1,5 & 0 & 3 -1,25 & 1,75 & 0,5 & 6,5
E a matriz fica:

Passo 5

Agora, vamos decompor L = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 , U = PA em e . Inicialmente, é a matriz identidade e é uma cópia de :

Passo 6

Vamos eliminar os elementos abaixo da pivô na primeira coluna. Usamos o elemento L = 1 & 0 & 0 & 0 0,2 & 1 & 0 & 0 -0,5 & 0 & 1 & 0 -0,25 & 0 & 0 & 1 , U = 5 & 1 & -2 & 2 0 & 1,16 & -1,6 & 3 0 & 2 & -1 & 4 0 & 2 & 0 & 6 como pivô.
  • Para a segunda linha, multiplicamos a primeira linha por e subtraímos da segunda linha:
  • Para a terceira linha, multiplicamos a primeira linha por e subtraímos da terceira linha:
  • Para a quarta linha, multiplicamos a primeira linha por e subtraímos da quarta linha:
Atualizamos com esses multiplicadores e atualizamos :

Passo 7

Agora, vamos para a segunda coluna. O maior elemento em valor absoluto na submatriz é 2, que está na terceira linha da submatriz atual. Então, trocamos a segunda linha com a terceira linha. Atualizamos P = 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 , L = 1 & 0 & 0 & 0 0,2 & 0 & 1 & 0 -0,5 & 1 & 0 & 0 -0,25 & 0 & 0 & 1 , U = 5 & 1 & -2 & 2 0 & 2 & -1 & 4 0 & 1,16 & -1,6 & 3 0 & 2 & 0 & 6 , , e :

Passo 8

Continuamos a eliminação. Agora, usamos o pivô L = 1 & 0 & 0 & 0 0,2 & 1 & 0 & 0 -0,5 & 0,58 & 1 & 0 -0,25 & 1 & 0 & 1 , U = 5 & 1 & -2 & 2 0 & 2 & -1 & 4 0 & 0 & -1,22 & 0,52 0 & 0 & 1 & 2 na segunda coluna para eliminar os elementos abaixo dele.
  • Para a terceira linha, multiplicamos a segunda linha por e subtraímos da terceira linha:
  • Para a quarta linha, multiplicamos a segunda linha por e subtraímos da quarta linha:
Atualizamos e :

Passo 9

Finalmente, na terceira coluna, o pivô é L = 1 & 0 & 0 & 0 0,2 & 1 & 0 & 0 -0,5 & 0,58 & 1 & 0 -0,25 & 1 & -0,82 & 1 , U = 5 & 1 & -2 & 2 0 & 2 & -1 & 4 0 & 0 & -1,22 & 0,52 0 & 0 & 0 & 2,43 . Não há necessidade de pivotação aqui, pois já é o único elemento.
Atualizamos com o multiplicador para a quarta linha:
  • Multiplicador

Passo 10

Agora que temos P b = 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 3 1 10 5 = 1 10 3 5 , podemos resolver o sistema. Primeiro, resolvemos y1 = 1 0,2 y1 + y2 = 10 -0,5 y1 + 0,58 y2 + y3 = 3 -0,25 y1 + y2 - 0,82 y3 + y4 = 5 .
Calculando :
Agora, resolvemos :
Resolvendo passo a passo:

Passo 11

Agora resolvemos 5 x1 + x2 - 2 x3 + 2 x4 = 1 2 x2 - x3 + 4 x4 = 10 -1,22 x3 + 0,52 x4 = -2,184 2,43 x4 = -6,337 :
Começamos de baixo para cima:
  1. Substituímos na terceira equação:
  2. Substituímos e na segunda equação:
  3. Finalmente, substituímos todas as variáveis na primeira equação:

Resposta

As matrizes de decomposição são:
P = 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 , L = 1 & 0 & 0 & 0 0,2 & 1 & 0 & 0 -0,5 & 0,58 & 1 & 0 -0,25 & 1 & -0,82 & 1 , U = 5 & 1 & -2 & 2 0 & 2 & -1 & 4 0 & 0 & -1,22 & 0,52 0 & 0 & 0 & 2,43
E o vetor solução é:
x approx -0,597 10,559 0,677 -2,61

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