Responda verdadeiro ou falso (e justifique): A decomposição de Cholesky emprega menos operações elementares que a decomposição .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está perguntando. A pergunta é: “Verdadeiro ou falso: A decomposição de Cholesky emprega menos operações elementares que a decomposição .” Aqui, estamos lidando com métodos de decomposição de matrizes na álgebra linear, especificamente a decomposição de Cholesky e a decomposição LU com permutação.

Passo 2

A decomposição é conhecida como decomposição LU com pivotização por linhas. Ela é usada para fatorar uma matriz geral em uma matriz de permutação , uma matriz triangular inferior e uma matriz triangular superior . Esse método é bastante geral e pode ser aplicado a qualquer matriz quadrada invertível.

Passo 3

Já a decomposição de Cholesky é uma técnica específica que se aplica a matrizes simétricas e definidas positivas. Ela fatora a matriz como , onde é uma matriz triangular inferior e é sua transposta. Devido a essa especificidade, a decomposição de Cholesky pode aproveitar propriedades da matriz para ser mais eficiente.

Passo 4

Quando falamos em operações elementares, estamos nos referindo ao número de multiplicações e adições necessárias para realizar a decomposição. A decomposição LU, por ser mais geral, requer mais operações porque precisa lidar com a permutação das linhas e não pode aproveitar propriedades adicionais da matriz.

Passo 5

Por outro lado, a decomposição de Cholesky, por se aplicar a matrizes simétricas e definidas positivas, tem um número menor de operações necessárias. Isso acontece porque a estrutura simétrica reduz a quantidade de cálculos necessários, já que muitos elementos são repetidos ou podem ser calculados de forma mais eficiente.

Resposta

Verdadeiro. A decomposição de Cholesky utiliza menos operações elementares que a decomposição porque aproveita a simetria e a positividade definida da matriz, tornando os cálculos mais eficientes.

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