Assumindo que C0, calcule lim t infty C(t) e interprete sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para calcular o limite de quando tende ao infinito, ou seja, . Além disso, a condição inicial é que . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais, especificamente aquelas que modelam crescimento ou decrescimento de populações, que geralmente envolvem parâmetros como taxa de crescimento ( ) e capacidade de suporte ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação que descreve dCdt = rC(1 - Ck) . Geralmente, em modelos de crescimento populacional, temos a equação diferencial:
Onde:
  • é a população no tempo ,
  • é a taxa de crescimento,
  • é a capacidade de suporte do ambiente.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar o valor de dCdt = rC - rC^2k quando vai para o infinito. Para isso, vamos resolver a equação diferencial. Primeiramente, podemos rearranjar a equação para facilitar a integração:

Passo 4

Agora, vamos separar as variáveis para integrar. Isso significa que vamos colocar todos os termos com dCC(1 - Ck) = r , dt de um lado e do outro:

Passo 5

Para integrar o lado esquerdo, podemos usar a técnica de frações parciais. Vamos decompor 1C(1 - Ck) = 1C + 1k - C :

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados:
integral ( 1C + 1k - C ) dC = integral r , dt
Isso resulta em:
ln|C| - ln|k - C| = rt + C1
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Podemos simplificar essa expressão usando propriedades dos logaritmos:
ln(Ck - C) = rt + C1
Exponentiando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Ck - C = e^rt + C1 = Ce^rt
Onde é uma nova constante que incorpora .

Passo 8

Resolvendo para C = Ce^rt(k - C) C = kCe^rt - C^2 e^rt , temos:
C(t) = kC0 e^rtk + C0 (e^rt - 1)
Isso pode ser reorganizado para encontrar :
Onde é a condição inicial.

Passo 9

Agora, queremos encontrar limt infty kC0 e^rtk + C0 (e^rt - 1) . Observando a expressão de limt infty kC0ke^rt + C0 (1 - 1e^rt) :
kC00 + C0 = k
Dividindo numerador e denominador por :
Quando vai para infinito, vai para zero. Então, simplificando:

Resposta

Portanto, . Isso significa que, independentemente do valor inicial ser menor que , a população tende a se estabilizar na capacidade de suporte à medida que o tempo passa.

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