Assumindo que , calcule e interprete sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para calcular o limite de quando tende ao infinito, ou seja, . Além disso, a condição inicial é que . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais, especificamente aquelas que modelam crescimento ou decrescimento de populações, que geralmente envolvem parâmetros como taxa de crescimento ( ) e capacidade de suporte ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação que descreve . Geralmente, em modelos de crescimento populacional, temos a equação diferencial:
Onde:
  • é a população no tempo ,
  • é a taxa de crescimento,
  • é a capacidade de suporte do ambiente.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar o valor de quando vai para o infinito. Para isso, vamos resolver a equação diferencial. Primeiramente, podemos rearranjar a equação para facilitar a integração:

Passo 4

Agora, vamos separar as variáveis para integrar. Isso significa que vamos colocar todos os termos com de um lado e do outro:

Passo 5

Para integrar o lado esquerdo, podemos usar a técnica de frações parciais. Vamos decompor :

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados:
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Podemos simplificar essa expressão usando propriedades dos logaritmos:
Exponentiando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde é uma nova constante que incorpora .

Passo 8

Resolvendo para , temos:
Isso pode ser reorganizado para encontrar :
Onde é a condição inicial.

Passo 9

Agora, queremos encontrar . Observando a expressão de :
Dividindo numerador e denominador por :
Quando vai para infinito, vai para zero. Então, simplificando:

Resposta

Portanto, . Isso significa que, independentemente do valor inicial ser menor que , a população tende a se estabilizar na capacidade de suporte à medida que o tempo passa.

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