Assumindo que
, calcule
e interprete sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para calcular o limite de
quando
tende ao infinito, ou seja,
. Além disso, a condição inicial é que
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais, especificamente aquelas que modelam crescimento ou decrescimento de populações, que geralmente envolvem parâmetros como taxa de crescimento (
) e capacidade de suporte (
).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação que descreve
. Geralmente, em modelos de crescimento populacional, temos a equação diferencial:
Onde:
-
é a população no tempo , -
é a taxa de crescimento, -
é a capacidade de suporte do ambiente.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar o valor de
quando
vai para o infinito. Para isso, vamos resolver a equação diferencial. Primeiramente, podemos rearranjar a equação para facilitar a integração:
Passo 4
Agora, vamos separar as variáveis para integrar. Isso significa que vamos colocar todos os termos com
de um lado e
do outro:
Passo 5
Para integrar o lado esquerdo, podemos usar a técnica de frações parciais. Vamos decompor
:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Podemos simplificar essa expressão usando propriedades dos logaritmos:
Exponentiando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde
é uma nova constante que incorpora
.
Passo 8
Resolvendo para
, temos:
Isso pode ser reorganizado para encontrar
:
Onde
é a condição inicial.
Passo 9
Agora, queremos encontrar
. Observando a expressão de
:
Dividindo numerador e denominador por
:
Quando
vai para infinito,
vai para zero. Então, simplificando:
Resposta
Portanto,
. Isso significa que, independentemente do valor inicial
ser menor que
, a população
tende a se estabilizar na capacidade de suporte
à medida que o tempo passa.
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, obtenha a representação de número de ponto flutuante normalizado para os seguintes números:
Encontre
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